Prozentrechnung - Gleichungsansatz, Matheübungen

Lösung mittels der Gleichung "GW · PS = PW" → Auflösen nach der Unbekannten. - Lehrplan

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Beachte: Eine Verringerung um 10% und eine anschließende Reduzierung (des neuen Werts) um 3% kann man NICHT zu einer Verringerung um 13% zusammenfassen, da sich der Grundwert nach dem ersten Schritt ändert!
  • Gehe schrittweise vor:
    • Führe für die gesuchte Größe eine Variable ein
    • Stelle anhand der Textaufgabe eine Gleichung mit x auf
    • Löse die Gleichung mithilfe von Termvereinfachungen und Äquivalenzumformungen
    • Formuliere einen Antwortsatz
  • In manchen Aufgabenstellungen ist die Grundgleichung der Prozentrechnung nicht sofort anwendbar, z.B. wenn
    • der Grundwert unbekannt ist und mehrmals um bestimmte Prozentsätze erhöht oder verringert wird.
    • in einem Zahlenrätsel eine anfangs unbekannte Zahl mehrfach verändert wird.
    • Flüssigkeiten vermischt werden, die jeweils zu einem bestimmten Prozentsatz einen Inhaltsstoff enthalten.
    In solchen Fällen kann man
    • eine Variable für die gesuchte Größe einführen, z.B. x,
    • eine Gleichung ("x-Ansatz") aufstellen, die zur Situation passt,
    • die Gleichung lösen und schließlich die Fragestellung beantworten.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu dieser Aufgabe" unterhalb der Aufgabe.

Stelle eine Gleichung auf, die zur beschriebenen Situation passt, und ermittle eine Antwort durch Lösen der Gleichung.

  • Familie Neubarth hat einen Handwerksbetrieb beauftragt, das Badezimmer in ihrem Haus zu renovieren. Weil Herr Neubarth beim Verlegen der Fliesen mitgeholfen hat, ist auf der Rechnung ein Rabatt von 10% berücksichtigt. Auf den bereits reduzierten Rechnungsbetrag erhält zudem er 3% Skonto (= Rabatt für schnelle Zahlung) und muss somit nur 960,30€ bezahlen. Was hätte die Badrenovierung normalerweise gekostet, wenn Herr Neubarth nicht mitgeholfen und nicht so schnell gezahlt hätte?
    Antwort: Die Renovierung hätte normalerweise € gekostet.
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Was ist die Grundgleichung der Prozentrechnung und ihre Komponenten?
#125
Die Grundgleichung der Prozentrechnung lautet:

PS · GW = PW

PS = Prozentsatz
GW = Grundwert
PW = Prozentwert

Beispiel
Überlege jeweils zuvor, ob Prozentwert, Prozentsatz oder Grundwert gefragt sind und löse dann:

(a) Ein Videospiel wurde von ursprünglich 19,90 € um 30% reduziert . Wie viel kostet es jetzt?

(b) Eine Gruppe setzt sich aus 15 Deutschen und 25 Franzosen zusammen. Wie viel Prozent der Gruppenmitglieder sind Deutsche?

(c) In einem reichen Vorort Münchens sind angeblich 22% aller Einwohner Millionäre. Wie viele Einwohner hat der Ort insgesamt, wenn dort 2431 Millionäre leben?

Was ist der Unterschied in der Berechnung zwischen '75% des Vorjahresgehalts' und '75% Steigerung zum Vorjahr'?
#57
Achte darauf, ob der Prozentsatz die Differenz zwischen zwei Größen ausdrückt oder ob es darum geht, wie groß die eine Größe im Vergleich zur anderen ist. Eine Differenz ist z.B. bei folgenden Formulierungen gemeint:
  • "um 30% gestiegen"; der neue Wert beträgt dann 130% (= 100% + 30%) gegenüber dem alten, ist also 1,3 mal so groß
  • "Abnahme um 20%"; der neue Wert beträgt dann 80% (= 100% − 20%) gegenüber dem alten, ist also 0,8 mal so groß
  • "15% mehr als"; der größere Wert beträgt dann 115% gegenüber dem kleineren, ist also 1,15 mal so groß
Beispiel
Durch den Anstieg des Meeresspiegels hat eine kleine Pazifikinsel innerhalb von 50 Jahren 22% ihrer Fläche verloren. Inzwischen beträgt diese nur noch 1172 km². Wie groß war die Insel vor 50 Jahren?
Was ist ein typischer mathematischer Fehlschluss bei veränderten Grundwerten?
#130
Achte bei mehrschrittigen Rechnungen darauf, dass sich evtl. der Grundwert verändert hat. Vergrößert man z.B. einen Wert um 10% und verkleinert den neuen anschließend wieder um 10%, so kommt NICHT wieder der Anfangswert heraus, da der Grundwert bei der ersten Erhöhung ein anderer war als bei der zweiten Erhöhung.
Beispiel
Ein Mathelehrer schlägt seinem Sohn Juri vor: "Bist du damit einverstanden, dass sich dein Taschengeld ausnahmsweise für einen Monat um 100% erhöht - danach würde ich es aber wieder um 100% reduzieren?" Der Sohn willigt ein und freut sich auf die Extraportion Taschengeld. Worin liegt sein Denkfehler?
Wie berechnet man mehrere aufeinanderfolgende prozentuale Veränderungen?
#1149
Ergeben sich mehrere prozentuale Veränderungen hintereinander, so lässt sich ähnlich wie bei der Grundgleichung der Prozentrechnung eine Gleichung formulieren, in der aber mehrere Prozentsätze vorkommen.
Beispiel
Von 2002 bis 2005 ist der Immobilienpreis in München um 10% zurückgegangen. Von 2005 bis 2014 ist er um 70% gestiegen. Wieviel Euro zahlte man 2002 pro Quadratmeter, wenn der Preis 2014 bei 6€/m² lag? Um wieviel Prozent ist Preis insgesamt gestiegen im Zeitraum 2002 bis 2014?
Wann und wie löst man Textaufgaben zur Prozentrechnung mit einer Gleichung ("x-Ansatz")?
#834
In manchen Aufgabenstellungen ist die Grundgleichung der Prozentrechnung nicht sofort anwendbar, z.B. wenn
  • der Grundwert unbekannt ist und mehrmals um bestimmte Prozentsätze erhöht oder verringert wird.
  • in einem Zahlenrätsel eine anfangs unbekannte Zahl mehrfach verändert wird.
  • Flüssigkeiten vermischt werden, die jeweils zu einem bestimmten Prozentsatz einen Inhaltsstoff enthalten.
In solchen Fällen kann man
  • eine Variable für die gesuchte Größe einführen, z.B. x,
  • eine Gleichung ("x-Ansatz") aufstellen, die zur Situation passt,
  • die Gleichung lösen und schließlich die Fragestellung beantworten.
Beispiel
Aylin denkt sich eine Zahl und lässt ihre Schwester Sara raten: "Wenn ich zu meiner Zahl 13 addiere und das Ergebnis um 75% verringere, kommen 50% der ursprünglichen Zahl heraus." Kannst du Sara helfen und Aylins ursprüngliche Zahl herausfinden?