Quadratische Funktionen, a=1 (Normalparabel), Matheübungen

Wertetabelle, x-Werte bestimmen, Verschiebungen in x- und in y-Richtung, Zusammenhang mit Parametern, Punktprobe - Lehrplan

Hilfe

  • Der Graph der quadratischen Funktion y=x² heißt Normalparabel mit dem Scheitel S ( 0 | 0 ).

    Eigenschaften der Funktion / des Graphen:

    • Die Funktion y=x² ordnet jedem x-Wert seine Quadratzahl x² zu.
    • Damit gilt: der y-Wert einer Zahl x und der y-Wert ihrer Gegenzahl -x sind immer gleich. Deshalb ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
    • Der kleinste Funktionswert ist 0. Alle anderen Funktionswerte sind positiv.
    • Der tiefste Punkt des Graphen heißt Scheitel. Er liegt bei der Normalparabel im Ursprung.
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Überprüfe, ob die gegebenen Punkte auf der Normalparabel mit dem Scheitel S (0 | 0) liegen. Schreibe "ja" oder "nein".

  • Normalparabel y
    =
    x
    2
    P (10 | 1000)
     
     
    liegt auf der Normalparabel mit dem Scheitel S (0 | 0):
     
     
     
    Q (-5 | -25)
     
     
    liegt auf der Normalparabel mit dem Scheitel S (0 | 0):
     
     
     
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Welche typischen Eigenschaften und Merkmale hat die quadratische Funktion y=x² und ihr Graph?
#828

Der Graph der quadratischen Funktion y=x² heißt Normalparabel mit dem Scheitel S ( 0 | 0 ).

Eigenschaften der Funktion / des Graphen:

  • Die Funktion y=x² ordnet jedem x-Wert seine Quadratzahl x² zu.
  • Damit gilt: der y-Wert einer Zahl x und der y-Wert ihrer Gegenzahl -x sind immer gleich. Deshalb ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
  • Der kleinste Funktionswert ist 0. Alle anderen Funktionswerte sind positiv.
  • Der tiefste Punkt des Graphen heißt Scheitel. Er liegt bei der Normalparabel im Ursprung.
Beispiel 1
Bestimme den zugehörigen y-Wert zum gegebenen x-Wert:
y
=
x
2
x
=
−
4
y
=
▇
Beispiel 2
Überprüfe, ob der gegebene Punkt auf der Normalparabel mit dem Scheitel S (0 | 0) liegt.
Normalparabel y
=
x
2
P (12 | 120)
Beispiel 3
Bestimme, falls möglich, alle x-Werte, für die die Punkte P und Q auf der Normalparabel mit dem Scheitel S ( 0 | 0 ) liegen.
Normalparabel y
=
x
2
Punkt P ( x | 
64
 ) 
Punkt Q ( x | 
−
64
 )
Was lässt sich über die Graphen der Funktionen folgender Gleichungen jeweils aussagen: y = x², y = (x + 2)², y = x² + 2, y = (x - 1)² + 3?
#230
  • y = x²:
    Normalparabel mit Scheitel S im Ursprung
  • y = (x + 2)²:
    Um 2 nach links (bei "x − 2" nach rechts) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(-2|0)
  • y = x² + 2:
    Um 2 nach oben (bei "x − 2" nach unten) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(0|2)
  • y = (x − 1)² + 3:
    Um 1 nach rechts und um 3 nach oben verschobene Normalparabel, also Scheitel S(1|3)
Diese Zusammenhänge gelten auch, wenn ein Faktor vor x² bzw. (...)² steht.