Quadratische Funktionen, a≠1, Mathe-Übungen

Gestreckte und gestauchte Parabeln, Bestimmung von Parametern (insbesondere Formparameter) anhand des Grafen, Scheitelbestimmung - Lehrplan

Hilfe
  • Zur Kontrolle: Die eingezeichneten Punkte müssen auf einer Parabel liegen.
  • In einer Wertetabelle sind x- und y-Werte einander gegenübergestellt. Die Wertetabelle erhält man, indem man vorgegebene x-Werte in den Funktionsterm einsetzt und so die zugehörigen y-Werte ausrechnet. Die (x|y)-Paare sind Punkte des Grafen.

Ergänze die Wertetabelle. Kontrolliere durch Einzeichnen in ein Koordinatensystem. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 2. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • y
    =
    −
    1
    3
     
    x
    2
    −
    2x
    +
    1
    x
    −
    2
    −
    1
    0
    1
    y
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
  • y = x²:
    Normalparabel mit Scheitel S im Ursprung
  • y = (x + 2)²:
    Um 2 nach links (bei "x − 2" nach rechts) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(-2|0)
  • y = x² + 2:
    Um 2 nach oben (bei "x − 2" nach unten) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(0|2)
  • y = (x − 1)² + 3:
    Um 1 nach rechts und um 3 nach oben verschobene Normalparabel, also Scheitel S(1|3)
Diese Zusammenhänge gelten auch, wenn ein Faktor vor x² bzw. (...)² steht.
Beispiel
Gib die Koordinaten des Scheitels an.
y
=
3
·
x
+
5
2
Weiß man, dass eine Parabel die x-Achse an den Stellen x1 und x2 schneidet, so kann man ihren Scheitel S leicht bestimmen:
  • xS = (x1 + x2) : 2
    Begründung: xS (also die x-Koordinate des Scheitels) liegt aus Symmetriegründen genau in der Mitte des Intervalls [x1 ; x2]
  • yS = p(xS)
    d.h. die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von xS in den Funktionsterm der Parabel
Beispiel
Die Parabel mit der Gleichung 
y
=
−
3x
2
−
2x
+
1
 schneidet die x-Achse an den Stellen 
x
1
=
−
1
 und 
x
2
=
1
3
. Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunkts.
In einer Wertetabelle sind x- und y-Werte einander gegenübergestellt. Die Wertetabelle erhält man, indem man vorgegebene x-Werte in den Funktionsterm einsetzt und so die zugehörigen y-Werte ausrechnet. Die (x|y)-Paare sind Punkte des Grafen.

Die durch y = ax² (a≠0) definierte Parabel hat den Scheitel im Ursprung und ist gegenüber der Normalparabel in y-Richtung um das |a|-fache gestreckt (|a|>1) oder gestaucht (|a|<1). Das Vorzeichen von a legt fest, ob die Parabel nach oben (a positiv) oder nach unten (a negativ) geöffnet ist.

Beispiel
Neben der Normalparabel (grau) sind drei verschiedene Parabeln mit der Gleichung y = ax² dargestellt. Lies jeweils das Vorzeichen von a ab und gib an, ob |a|>1 oder |a|<1.
graphik
Durch die Gleichung y = a⋅(x - xS)² + yS (a≠0) ist eine Parabel mit den Scheitelkoordinaten xS und yS gegeben, die gegenüber der Normalparabel mit der Gleichung y = x²
  • nach unten geöffnet ist, falls a negativ ist und
  • evtl. gestreckt (falls |a|>1) bzw. gestaucht (falls |a|<1) ist.
Beispiel
Abgebildet ist die Parabel mit der Gleichung
y
=
a
·
x
−
x
S
2
+
y
S
Bestimme a, 
x
S
 und 
y
S
.
graphik
Die Gleichung einer Parabel sei bis auf den Formfaktor a bekannt. Dann lässt sich a bestimmen, indem man einen Punkt des Graphen aus dem Koordinatensystem abliest, ihn in die Parabelgleichung einsetzt und die Gleichung nach a auflöst.
Beispiel
graphik
Um zu überprüfen, ob ein Punkt (a|b) über, auf oder unter dem Graphen einer Funktion liegt, setzt man a in den Funktionsterm f(x) ein. Der Punkt liegt
  • über dem Graphen, wenn b > f(a)
  • auf dem Graphen, wenn b = f(a)
  • unter dem Graphen, wenn b < f(a)
Beispiel
f: 
y
=
−
1
2
 
x
2
−
x
+
8
;        
A
 
−
5
 
|
 
−
1
;   
B
 
−
2
 
|
 
9
;   
C
 
1
 
|
 
6,5
Gib jeweils an, ob der der Punkt über, auf oder unter der Parabel liegt.
Um eine in Scheitelform gegebene Parabel mit der Gleichung y=a·(x−xS)²+yS ohne Wertetabelle zu zeichnen, geht man am besten vom Scheitel S aus nacheinander um 1, 2, 3 usw. Einheiten nach rechts und dabei um a·1², a·2², a·3² usw. Einheiten nach oben (a>0) oder unten (a<0). Somit erhält man den rechten Parabelast. Der linke ergibt sich durch Spiegelung.
Beispiel
Zeichne die Parabel mit der Gleichung  
y
=
1
2
 
x
−
3
2
+
1
  in ein Koordinatensystem. Benutze dabei weder den Taschenrechner noch eine schriftliche Wertetabelle.
Man unterscheidet bei einer Parabel zwischen
  • Allgemeiner Form   y = ax² + bx + c   ⇒ Ablesen des Schnittpunkts mit der y-Achse (0;c)
  • Scheitelpunktform   y = a (x - xS)² + yS   ⇒ Ablesen des Scheitels S

Von der allgemeinen Form ausgehend erhält man die Scheitelpunktform mithilfe der quadratischen Ergänzung.

Beispiel
Bringe 
y
=
1
4
 
x
2
−
2x
+
1
 in Scheitelpunktform und gib den Scheitel an.
Von der Scheitelpunktform
y = a⋅(x − xS)2 + yS
kommt man durch ausquadrieren bzw. dem Anwenden der binomischen Formeln zur allgemeinen Form:
y = a⋅x² + bx + c
Beispiel
Bringe in die allgemeine Form und gib dann die Parameter a, b und c an:
y
=
−
5
·
x
+
2
2
−
1
Die Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel kann von jeder Form aus in jede andere Form umgewandelt werden:
  • Allgemeine Form ⇒ Scheitepunktform: mittels quadratischer Ergänzung
  • Allgemeine Form ⇒ Nullstellenform: mittels Nullstellenbestimmung, z.B. mit Hilfe der Miternachts- oder der p-q-Formel
  • Scheitelpunktform ⇒ allgemeine Form: Ausmultiplizieren (binomische Formel) und vereinfachen
  • Scheitelpunktform ⇒ Nullstellenform: mittels Nullstellenbestimmung, wobei hier keine Lösungsformel notwendig ist
  • Nullstellenform ⇒ allgemeine Form: Ausmultiplizieren und vereinfachen
  • Nullstellenform ⇒ Scheitelpunktform: xS ergibt sich als Mittelwert der Nullstellen, yS durch Einsetzen von xS in den Funktionsterm
Beispiel
Allgemeine Form - Scheitelpunktform - Nullstellenform: Wandle jeweils von der gegebenen in die beiden anderen Formen um.
a) 
y
=
1
3
 
x
+
1
2
−
2
b) 
y
=
1
2
 
x
2
−
5x
+
8
c) 
y
=
3
·
x
−
2
·
x
+
1
Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung y=ax²+bx+c. Gibt man zwei Punkte auf dem Graphen (Schaubild) der Funktion und einen der Parameterwerte a, b oder c vor, lässt sich die Funktionsgleichung bestimmen.

Durch das Einsetzen der zwei Punkte und des Parameterwerts in die Funktionsgleichung y = ax² + bx + c erhält man ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Dieses kann mittels Einsetz- oder Subtraktionsverfahren gelöst werden.

Beispiel
Bestimme die Gleichung der Parabel p, die durch die Punkte A und B verläuft.
A
 
2
 
|
 
8
B
 
−
1
 
|
 
1
p:y
=
ax
2
+
bx
+
9
Bei der Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel unterscheidet man folgende Formen:
  1. Allgemeine Form:
    y=ax²+bx+c
    Hieraus lässt sich der Schnittpunkt mit der y-Achse (0|c) ablesen.
     
  2. Scheitelpunktform:
    y=a·(x−xS)²+yS
    Hieraus lässt sich der Scheitelpunkt S(xS|yS) ablesen.
     
  3. Nullstellenform (Produktform/faktorisierte Form):
    y=a·(x−x1)·(x−x2)
    Hieraus lassen sich die Nullstellen x1 und x2 ablesen.