- y = x²:
Normalparabel mit Scheitel S im Ursprung
- y = (x + 2)²:
Um 2 nach links (bei "x − 2" nach rechts) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(-2|0)
- y = x² + 2:
Um 2 nach oben (bei "x − 2" nach unten) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(0|2)
- y = (x − 1)² + 3:
Um 1 nach rechts und um 3 nach oben verschobene Normalparabel, also Scheitel S(1|3)
Diese Zusammenhänge gelten auch, wenn ein Faktor vor x² bzw. (...)² steht.
Gib die Koordinaten des Scheitels an.
Um eine in Scheitelform gegebene Parabel mit der Gleichung y=a·(x−xS)²+yS ohne Wertetabelle zu zeichnen, geht man am besten vom Scheitel S aus nacheinander um 1, 2, 3 usw. Einheiten nach rechts und dabei um a·1², a·2², a·3² usw. Einheiten nach oben (a>0) oder unten (a<0). Somit erhält man den rechten Parabelast. Der linke ergibt sich durch Spiegelung.
Zeichne die Parabel mit der Gleichung in ein Koordinatensystem. Benutze dabei weder den Taschenrechner noch eine schriftliche Wertetabelle.
Weiß man, dass eine Parabel die x-Achse an den Stellen x
1 und x
2 schneidet, so kann man ihren Scheitel S leicht bestimmen:
- xS = (x1 + x2) : 2
Begründung: xS (also die x-Koordinate des Scheitels) liegt aus Symmetriegründen genau in der Mitte des Intervalls [x1 ; x2]
- yS = p(xS)
d.h. die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von xS in den Funktionsterm der Parabel
Die Parabel mit der Gleichung schneidet die x-Achse an den Stellen und . Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunkts.
In einer Wertetabelle sind x- und y-Werte einander gegenübergestellt. Die Wertetabelle erhält man, indem man vorgegebene x-Werte in den Funktionsterm einsetzt und so die zugehörigen y-Werte ausrechnet. Die (x|y)-Paare sind Punkte des Grafen.
Um zu überprüfen, ob ein Punkt (a|b) über, auf oder unter dem Graphen einer Funktion liegt, setzt man a in den Funktionsterm f(x) ein. Der Punkt liegt
- über dem Graphen, wenn b > f(a)
- auf dem Graphen, wenn b = f(a)
- unter dem Graphen, wenn b < f(a)
Gib jeweils an, ob der der Punkt über, auf oder unter der Parabel liegt.
Die durch y = ax² (a≠0) definierte Parabel hat den Scheitel im Ursprung und ist gegenüber der Normalparabel in y-Richtung um das |a|-fache gestreckt (|a|>1) oder gestaucht (|a|<1). Das Vorzeichen von a legt fest, ob die Parabel nach oben (a positiv) oder nach unten (a negativ) geöffnet ist.
Neben der Normalparabel (grau) sind drei verschiedene Parabeln mit der Gleichung y = ax² dargestellt. Lies jeweils das Vorzeichen von a ab und gib an, ob |a|>1 oder |a|<1.
Durch die Gleichung
y = a⋅(x - xS)² + yS (a≠0) ist eine Parabel mit den Scheitelkoordinaten
xS und
yS gegeben, die gegenüber der Normalparabel mit der Gleichung
y = x²
- nach unten geöffnet ist, falls a negativ ist und
- evtl. gestreckt (falls |a|>1) bzw. gestaucht (falls |a|<1) ist.
Abgebildet ist die Parabel mit der Gleichung
Die Gleichung einer Parabel sei bis auf den Formfaktor a bekannt. Dann lässt sich a bestimmen, indem man einen Punkt des Graphen aus dem Koordinatensystem abliest, ihn in die Parabelgleichung einsetzt und die Gleichung nach a auflöst.