Quadratische Funktionen - Optimierungsprobleme, Matheübungen

- Lehrplan für 5.-13. Klasse - 25 Aufgaben in 6 Levels

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Stelle einen Term für den gesuchten Flächeninhalt auf und bestimme dessen Maximum.
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Bei Extremwertaufgaben geht man am besten in folgenden Schritten vor:
    1. Darstellung der zu optimierenden Größe als Term
    2. Term in Abhängigkeit von einer Variable (z.B. "x") darstellen
    3. Term in Nullstellen- oder Scheitelpunktform umwandeln
    4. Extremwert und zugehöriges "x" bestimmen
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 4
  • Bestimme den größtmöglichen Inhalt für die markierte Fläche.
  • Zwischenschritte aktiviert
    • graphik
    In einem Leichtathletik-Stadion besteht die 400m-Laufbahn aus zwei Halbkreisbögen mit Radius r und zwei Strecken der Länge l. Die beiden Strecken begrenzen zusammen mit den beiden Durchmessern der Kreisbögen ein reckteckiges Flächenstück mit dem Flächeninhalt A, das z.B. als Fußballfeld genutzt werden kann (vgl. Abbildung). Ermittle, wie der Radius r der Kreisbögen gewählt werden muss, damit A möglichst groß wird, und gib den maximalen Wert für A an. Runde das Ergebnis auf ganze Quadratmeter. (Hinweis: Zwischenergebnisse sollten nicht gerundet werden.)
    Maximaler Wert für den Flächeninhalt ca. 
     ▉ 
     
    m
    2
    Schritt 1 von 4
    Wähle jeweils den passenden Term aus.
    Für den Flächeninhalt des rechteckigen Feldes:
     
    A
    =
    π
    ·
    r
        
    A
    =
    2π
    ·
    r
     
    A
    =
    r
    ·
    l
        
    A
    =
    2r
    ·
    l
    Für die Länge l in Abhängigkeit vom Radius r (ohne Berücksichtigung der Einheit):
     
    l
    =
    400
    −
    πr
        
    l
    =
    400
    −
    2r
     
    l
    =
    200
    −
    πr
        
    l
    =
    200
    −
    2r
    Für den Funktionsterm von A in Abhängigkeit von r:
     
    A(r)
    =
    2r
    ·
    200
    −
    πr
        
    A(r)
    =
    πr
    ·
    200
    −
    2r
     
    A(r)
    =
    2r
    ·
    400
    −
    2r
        
    A(r)
    =
    r
    ·
    400
    −
    πr
  • keine Berechtigung
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
Hilfe
Hilfe
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Lösung
Achtung
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie bestimmt man das Maximum bzw. Minimum einer Parabelfunktion und wann tritt es auf?
#1117
  • Der Scheitelpunkt einer Parabel gibt an, wo die zugehörige Funktion ein Maximum/Minimum hat und wie groß dieses ist. Wenn xS die x-Koordinate und yS die y-Koordinate des Scheitels ist, so hat die Funktion an der Stelle xS das Maximum bzw. Minimum yS.
  • Bei einer nach oben geöffneten Parabel liegt ein Minimum, bei einer nach unten geöffneten Parabel ein Maximum vor.
Wie löst man Extremwertaufgaben in vier Schritten?
#658
Bei Extremwertaufgaben geht man am besten in folgenden Schritten vor:
  1. Darstellung der zu optimierenden Größe als Term
  2. Term in Abhängigkeit von einer Variable (z.B. "x") darstellen
  3. Term in Nullstellen- oder Scheitelpunktform umwandeln
  4. Extremwert und zugehöriges "x" bestimmen
Beispiel
Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basislänge 4 und der Höhe 3,5 ist ein Rechteck einbeschrieben. Bestimme Länge und Breite des Rechtecks mit dem maximalen Flächeninhalt.