2.2 Quadratische Funktionen, Matheübungen

Quadratische Funktionen - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse) - 43 Aufgaben in 8 Levels

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  • Beispiel zum Level
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Stoff zum Level
    Bei der Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel unterscheidet man folgende Formen:
    1. Allgemeine Form:
      y=ax²+bx+c
      Hieraus lässt sich der Schnittpunkt mit der y-Achse (0|c) ablesen.
       
    2. Scheitelpunktform:
      y=a·(x−xS)²+yS
      Hieraus lässt sich der Scheitelpunkt S(xS|yS) ablesen.
       
    3. Nullstellenform (Produktform/faktorisierte Form):
      y=a·(x−x1)·(x−x2)
      Hieraus lassen sich die Nullstellen x1 und x2 ablesen.
  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 10 in Level 4
  • Gib jeweils eine Funktionsgleichung einer Parabel an, die alle genannten Bedingungen erfüllt. Ist eine bestimmte Darstellungsform vorgegeben, muss die Funktionsgleichung in dieser Form angegeben werden. Andernfalls ist jede geeignete Darstellungsform erlaubt. Es kann mehrere richtige Lösungen geben.

    • Die Parabel hat den Scheitelpunkt \(S(2\mid-3)\), ist nach oben geöffnet und enger als die Normalparabel. Gib eine passende Funktionsgleichung in Scheitelpunktform an.

    (Potenzen können z.B. in der Form x^n eingegeben werden)

Beispiel
Beispiel-Aufgabe
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Stoff zum Thema (+Video)
Was lässt sich über die Graphen der Funktionen folgender Gleichungen jeweils aussagen: y = x², y = (x + 2)², y = x² + 2, y = (x - 1)² + 3?
#230
  • y = x²:
    Normalparabel mit Scheitel S im Ursprung
  • y = (x + 2)²:
    Um 2 nach links (bei "x − 2" nach rechts) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(-2|0)
  • y = x² + 2:
    Um 2 nach oben (bei "x − 2" nach unten) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(0|2)
  • y = (x − 1)² + 3:
    Um 1 nach rechts und um 3 nach oben verschobene Normalparabel, also Scheitel S(1|3)
Diese Zusammenhänge gelten auch, wenn ein Faktor vor x² bzw. (...)² steht.
Beispiel
Gib die Koordinaten des Scheitels an.
y
=
3
·
x
+
5
2
Welche drei Darstellungsformen gibt es für quadratische Funktionen und wie werden sie beschrieben?
#923
Bei der Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel unterscheidet man folgende Formen:
  1. Allgemeine Form:
    y=ax²+bx+c
    Hieraus lässt sich der Schnittpunkt mit der y-Achse (0|c) ablesen.
     
  2. Scheitelpunktform:
    y=a·(x−xS)²+yS
    Hieraus lässt sich der Scheitelpunkt S(xS|yS) ablesen.
     
  3. Nullstellenform (Produktform/faktorisierte Form):
    y=a·(x−x1)·(x−x2)
    Hieraus lassen sich die Nullstellen x1 und x2 ablesen.
Beispiel
Stelle, soweit ablesbar, passende Funktionsterme für die Parabeln f und g auf.
graphik
Wie bestimmt man den Scheitel einer Parabel aus ihren Schnittpunkten mit der x-Achse?
#436
Weiß man, dass eine Parabel die x-Achse an den Stellen x1 und x2 schneidet, so kann man ihren Scheitel S leicht bestimmen:
  • xS = (x1 + x2) : 2
    Begründung: xS (also die x-Koordinate des Scheitels) liegt aus Symmetriegründen genau in der Mitte des Intervalls [x1 ; x2]
  • yS = p(xS)
    d.h. die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von xS in den Funktionsterm der Parabel
Beispiel
Die Parabel mit der Gleichung 
y
=
−
3x
2
−
2x
+
1
 schneidet die x-Achse an den Stellen 
x
1
=
−
1
 und 
x
2
=
1
3
. Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunkts.
Wie beeinflussen die Parameter a, xS und yS die Form und Lage einer Parabel mit der Gleichung y = a⋅(x - xS)² + yS?
#913
Durch die Gleichung y = a⋅(x - xS)² + yS (a≠0) ist eine Parabel mit den Scheitelkoordinaten xS und yS gegeben, die gegenüber der Normalparabel mit der Gleichung y = x²
  • nach unten geöffnet ist, falls a negativ ist und
  • evtl. gestreckt (falls |a|>1) bzw. gestaucht (falls |a|<1) ist.
Beispiel
Abgebildet ist die Parabel mit der Gleichung
y
=
a
·
x
−
x
S
2
+
y
S
Bestimme a, 
x
S
 und 
y
S
.
graphik