Quadratische Gleichungen - Anwendungen, Matheübungen

Aufgaben, die auf das Lösen von quadratischen Gleichungen führen: Schnittpunkte von Graphen, Aussagen über die Diskriminante bei Schnitt- oder Berührpunkten, Bruchgleichungen - Lehrplan für 5.-11. Klasse

Hilfe
  • Entnimm der Abbildung drei Punkte A, B und C, die auf der Parabel liegen. Gehe von der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion aus. Stelle anhand der drei Punkte ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten auf. Löse das Gleichungssystem und versuche mithilfe des nun bekannten Funktionsterms die Frage im Sachzusammenhang zu beantworten.
  • Bestimmte Bewegungsvorgänge (z.B. Ballwurf) und bestimmte Formen (z.B. ein an zwei Stellen befestigtes Seil) können näherungsweise als Teile von Parabeln aufgefasst werden und daher durch quadratische Funktionen modelliert werden. Sind von der Parabel ...
    • ... drei beliebige Punkte bekannt, sollte man ein Gleichungssystem aufstellen, um die Parameter a, b und c der allgemeinen Form zu bestimmen.
    • ... der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Scheitelform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
    • ... die beiden Nullstellen und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Nullstellenform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.

Bestimme den passenden Term einer quadratischen Funktion und beantworte die Frage im Sachzusammenhang.

  • Jenny hat eine Mehrfachbelichtung von Gregs Basketballwurf aufgenommen: In der Abbildung ist ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 Meter ergänzt worden, so dass man drei Punkte ablesen kann, an denen sich der Mittelpunkt des Basketballs nacheinander befunden hat. Jenny ist sich gar nicht mehr sicher, ob der Ball direkt in den Korb gegangen ist. Unter der Annahme, dass die Flugbahn des Basketballs parabelförmig ist, kann diese Frage jedoch beantwortet werden.
    graphik
    Der zur Flugbahn passende Funktionsterm lautet:
    f(x)
    =
     
     
    x
    2
     
    +
     
     
    x
    +
    Der Basketball war am Ort (4,5|3) des Basketballkorbs   Meter zu tief.
    (Gib "0" ein, wenn der Basketball direkt in den Korb getroffen hat.)
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keine Berechtigung
Wie viele Nullstellen kann eine quadratische Funktion haben und wie bestimmt man diese?
#993
Eine quadratischen Funktion kann maximal zwei Nullstellen haben. Deren Bestimmung läuft auf das Lösen einer quadratischen Gleichung hinaus. Je nachdem, in welcher Form der Funktionsterm gegeben ist, wendet man die Lösungsformel (Mitternachtsformel oder p-q-Formel) an oder wählt ein leichteres Verfahren:
  • Scheitelpunktform: forme die Gleichung um in (x+...)2=... und radiziere dann auf beiden Seiten
  • Nullstellenform: die Nullstellen können ohne weitere Rechnung abgelesen werden
Wie kann man jede Gleichung graphisch lösen, wenn eine Lösung existiert?
#431
Eine Gleichung kann graphisch gelöst werden, indem man beide Seiten der Gleichung als Funktionsterm betrachtet und die zugehörigen Graphen zeichnet. Die Stellen, wo sie sich schneiden bzw. berühren, sind die Lösungen der Gleichung. Keine gemeinsamen Punkte dagegen heißt keine Lösung.
Beispiel
Löse graphisch:
0,5x
2
−
1
=
−
1,5x
−
2
Wie bestimmt man die Schnitt- und Berührpunkte zweier Graphen und welcher Spezialfall ist dabei zu beachten?
#238
Die Schnitt- und Berührpunkte (gemeinsame Punkte) zweier Graphen Gf und Gg ermittelt man durch Gleichsetzen ihrer Funktionsterme, also f(x) = g(x). Setze die Lösung der Gleichung in f(x) oder g(x) ein, um den zugehörigen y-Wert zu ermitteln.

Spezialfall f(x) = 0: Hier geht es um die gemeinsamen Punkte von Gf mit der x-Achse.

Beispiel
Bestimme die Schnittpunkte der beiden Parabeln p und q mit folgenden Gleichungen:
p
 
x
=
3
4
 
x
2
+
2x
−
10
q
 
x
=
1
4
 
x
2
+
1,5x
−
4
.
Wie interpretiert man graphisch die Gleichungen f(x) = h(x) und f(x) = 0, und was bedeutet dies bei quadratischen Gleichungen?
#244

Eine Lösung der Gleichung f(x) = h(x) kann als Schnitt- oder Berührstelle der beiden Graphen Gf und Gh interpretiert werden. Eine Lösung der Gleichung f(x) = 0 kann als Schnitt- oder Berührstelle von Gf mit der x-Achse interpretiert werden.

Sofern die Gleichung quadratisch ist, kann man aus dem Vorzeichen der Diskriminante D auf die Anzahl der gemeinsamen Punkte schließen und umgekehrt:

  • D > 0 ⇔ zwei Schnittstellen
  • D = 0 ⇔ eine Berührstelle
  • D < 0 ⇔ weder Schnitt- noch Berührstelle, also keine gemeinsamen Punkte
Wie löst man eine Bruchgleichung, wenn x nur im Nenner eines Bruchs vorkommt?
#1076
Kommt in einer Bruchgleichung nur ein Bruch mit x im Nenner vor, so multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner dieses Bruchs. Durch anschließendes Kürzen erhält man eine vereinfachte (nennerfreie) Gleichung.
Beispiel
Wandle in eine nennerfreie Gleichung um und vereinfache diese:
5x
3x
−
1
+
7x
=
2
Wie macht man eine Bruchgleichung nennerfrei und was sollte man beachten?
#222
Ein Zwischenziel beim Lösen von Bruchgleichungen besteht darin, die Gleichung nennerfrei zu machen. Das gelingt, auch bei Bruchgleichungen mit mehreren Summanden, indem man beide Seiten mit dem Produkt aller auftretenden Nennerterme bzw. mit ihrem kleinsten gemeinsamen Vielfachen ("Hauptnenner") multipliziert.
Beispiel
Löse die Gleichung:
3x
−
1
2x
+
3
=
−
6x
2
−
4x
Wie bestimmt man Schnitt- oder Berührpunkte zwischen einer Parabel und einer Geraden oder zwischen zwei Parabeln?
#784

Die Graphen zweier quadratischer Funktionen (Parabeln) oder einer quadratischen und einer linearer Funktion (Parabel und Gerade) f und g können sich zweimal schneiden, einmal berühren oder auch keine gemeinsamen Punkte aufweisen. Um das herauszufinden, setzt man beide Funktionsterme gleich, also f(x) = g(x), und bringt die Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0. Mit Hilfe der Diskriminante D = (p/2)² − q bekommt man die Antwort:

  • D > 0 ⇔ zwei Schnittstellen
  • D = 0 ⇔ eine Berührstelle
  • D < 0 ⇔ weder Schnitt- noch Berührstelle, also keine gemeinsamen Punkte
Beispiel 1
Gegeben sind die Parabel r und die Gerade g mit folgenden Gleichungen:
r: y
=
−
1
3
 
x
2
−
5x
+
7
g: y
=
5
6
 
x
−
2
a) Ermittle rechnerisch, ob sich beide Graphen schneiden, berühren oder ob Sie keine gemeinsamen Punkte aufweisen.
b) Falls es gemeinsame Punkte gibt: ermittle diese!
Beispiel 2
- - - a) - - -
Gegeben sind eine Parabelschar 
p
a
 und eine Gerade g durch
p
a
 
x
=
ax
2
−
2x
+
1
g
 
x
=
3x
−
4
Gib jeweils den Wert oder die Werte für a an, bei dem sich 
p
a
 und g schneiden/berühren/weder schneiden noch berühren.

- - - b) - - -
Gegeben sind eine Parabel p und eine Geradenschar 
g
m
 durch
p
x
=
1
2
 
x
−
1
2
+
2
g
m
 
x
=
mx
−
2
Bestimme m so, dass sich Parabel und Gerade berühren.
Wie modelliert man Parabeln in Sachzusammenhängen abhängig von gegebenen Punkten?
#926
Bestimmte Bewegungsvorgänge (z.B. Ballwurf) und bestimmte Formen (z.B. ein an zwei Stellen befestigtes Seil) können näherungsweise als Teile von Parabeln aufgefasst werden und daher durch quadratische Funktionen modelliert werden. Sind von der Parabel ...
  • ... drei beliebige Punkte bekannt, sollte man ein Gleichungssystem aufstellen, um die Parameter a, b und c der allgemeinen Form zu bestimmen.
  • ... der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Scheitelform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
  • ... die beiden Nullstellen und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Nullstellenform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.