Lösungsformel für quadratische Gleichungen - Matheaufgaben und Online-Übungen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 1

Löse mit Hilfe der pq-Formel.
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Quadratische Gleichungen

Kanal: Mathegym

Was ist die pq-Formel und wofür wird sie verwendet?

#562

Die Lösungen der quadratische Gleichung x² + px + q = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. pq-Formel bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = (p/2)² − q

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x_1,2 =-p/2 ± √D

Beispiel

Löse die Gleichung

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Wie wendet man die pq-Formel auf eine quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 1 an?

#563

Ist die quadratische Gleichung in der Form

ax² + bx + c = 0

gegeben (d.h. steht vor x² eine Zahl ≠ 1), so muss man die Gleichung erst auf beiden Seiten durch a teilen (a ≠ 0 vorausgesetzt), bevor man die pq-Formel anwendet.

Beispiel

Löse die Gleichung

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10x

Wie funktioniert die Substitutionsmethode in der Mathematik?

#486

Beim Lösen einer Gleichung mit der Unbekannten x kann es hilfreich sein, eine Substitution vorzunehmen. Man ersetzt dabei einen geeigneten x-Term (z.B. x²) durch eine neue Variable, z.B. "z", so dass die Gleichung gelöst werden kann. Wenn man die Lösung(en) für z kennt, findet man die Lösungen für x leicht heraus (Re- / Rücksubstitution).

Beispiel

Löse die Gleichung

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Wie kann eine quadratische Gleichung eine oder zwei Lösungen haben? Gib jeweils ein Beispiel und begründe dies.

#433

Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Daher hat eine quadratische Gleichung der Form

(x − 1)⋅(x + 2) = 0 die zwei Lösungen 1 und -2
(x − 3)² = 0 nur die Lösung 3

Beispiel

Gib eine quadratische Gleichungen an, die als einzige Lösung x = -5 hat.

Was sind die rückwärts gerichteten binomischen Formeln und wie werden sie angewendet?

#266

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten in der Rückwärtsversion:

a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² − 2ab + b² = (a − b)²
a² − b² = (a + b) (a − b)

In dieser Richtung (links ohne Klammer, rechts mit) ermöglichen die Formeln, eine Summe oder Differenz in ein Produkt umzuformen ("faktorisieren"). Hier ist es wichtig, dass man den linken Term erst einmal überprüft: Liegt die passende Struktur für eine BF vor? Eine Probe (andere Richtung) gibt Gewissheit.

Beispiel

Löse durch Faktorisieren:

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Was ist bei einer quadratischen Gleichung mit einem Parameter zu beachten?

#1318

In einer quadratischen Gleichung mit x als gesuchte Variabe kann eine weitere Variable (=Parameter) k vorkommen. Abhängig von k kann es zwei, eine oder keine Lösung für x geben. Wenn es mehrere Lösungen gibt, so sind diese abhängig von k.

Beispiel

Ermittle, für welche Werte von k es zwei/eine/keine Lösung(en) gibt. Gib, falls vorhanden, die Lösung(en) in Abhängigkeit von k an: