Quadratische Gleichungen - Lösungstechniken, Matheübungen

Unterschiedliche Lösungsmethoden quadratischer Gleichungen, z.B. Mitternachtsformel; Ermittlung quadratischer Gleichungen anhand der vorgegebenen Lösung(en); Bruchgleichungen, die auf quadratische Gleichungen zurückgeführt werden können - Lehrplan G9 (5.-13. Klasse) - 79 Aufgaben in 15 Levels

Aufgabe

Aufgabe 1 von 8 in Level 1

Bringe die Gleichung nur durch Addition/Subtraktion in die Form ax² + bx + c = 0. Ordne dann richtig zu.
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Quadratische Gleichungen

Kanal: Mathegym

Wie identifiziert man die Koeffizienten a, b und c in einer quadratischen Gleichung?

#241

Merke:

a ist der x² zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x² steht)
b ist der x zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x steht). Kommt x in der Gleichung nicht vor, so ist b = 0.
c ist die Konstante (d.h. c steht solo, ohne x oder x²). Kommt keine Konstante in der Gleichung vor, so ist c = 0.

Wie berechnet man die Diskriminante einer quadratischen Gleichung und was sagt sie aus?

#843

Um zu ermitteln, ob die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 überhaupt gelöst werden kann und ob es - falls ja - eine oder zwei Lösungen gibt, berechnet man am besten zuerst die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

Gilt D < 0, so ist die quadratische Gleichung unlösbar.
Gilt D = 0, so hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung.
Gilt D > 0, so hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.

Was ist die Mitternachtsformel und wie bestimmt man die Anzahl der Lösungen?

#243

Die Lösungen der quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. Mitternachtsformel (MNF) bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x_1,2 = (−b ± √D) : 2a

Beispiel 1

Löse die Gleichung

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Beispiel 2

Löse die Gleichung:

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Wie macht man eine Bruchgleichung nennerfrei und was sollte man beachten?

#222

Ein Zwischenziel beim Lösen von Bruchgleichungen besteht darin, die Gleichung nennerfrei zu machen. Das gelingt, auch bei Bruchgleichungen mit mehreren Summanden, indem man beide Seiten mit dem Produkt aller auftretenden Nennerterme bzw. mit ihrem kleinsten gemeinsamen Vielfachen ("Hauptnenner") multipliziert.

Wie kann eine quadratische Gleichung eine oder zwei Lösungen haben? Gib jeweils ein Beispiel und begründe dies.

#433

Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Daher hat eine quadratische Gleichung der Form

(x − 1)⋅(x + 2) = 0 die zwei Lösungen 1 und -2
(x − 3)² = 0 nur die Lösung 3

Beispiel

Gib eine quadratische Gleichungen an, die als einzige Lösung x = -5 hat.

Was sind die rückwärts gerichteten binomischen Formeln und wie werden sie angewendet?

#266

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten in der Rückwärtsversion:

a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² − 2ab + b² = (a − b)²
a² − b² = (a + b) (a − b)

In dieser Richtung (links ohne Klammer, rechts mit) ermöglichen die Formeln, eine Summe oder Differenz in ein Produkt umzuformen ("faktorisieren"). Hier ist es wichtig, dass man den linken Term erst einmal überprüft: Liegt die passende Struktur für eine BF vor? Eine Probe (andere Richtung) gibt Gewissheit.

Beispiel

Löse durch Faktorisieren:

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Welche zwei Spezialfälle quadratischer Gleichungen ermöglichen eine Lösung ohne die allgemeine Lösungsformel und wie löst man diese?

#242

Quadratische Gleichungen können leicht gelöst werden, wenn

x nur im Quadrat vorkommt (z.B. -2x² + 3 = 2)
→ nach x² auflösen, zuletzt Wurzel ziehen; beachte "±" !
keine (additiven) Konstanten auftreten (z.B. -2x² = 3x)
→ alle x-Terme auf eine Seite und x ausklammern

Beispiel

Löse jeweils so einfach wie möglich (ohne Lösungsformel):

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Was besagt der Satz von Vieta für quadratische Gleichungen?

#476

Satz von Vieta: Die quadratische Gleichung in Normalform

x² + px + q = 0

besitzt die beiden Lösungen x₁ und x₂, falls

x₁ + x_{2 = −p und}
x₁·x_{2 = q}

Beispiel

Löse mit Hilfe des Satzes von Vieta:

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Wie funktioniert die Substitutionsmethode in der Mathematik?

#486

Beim Lösen einer Gleichung mit der Unbekannten x kann es hilfreich sein, eine Substitution vorzunehmen. Man ersetzt dabei einen geeigneten x-Term (z.B. x²) durch eine neue Variable, z.B. "z", so dass die Gleichung gelöst werden kann. Wenn man die Lösung(en) für z kennt, findet man die Lösungen für x leicht heraus (Re- / Rücksubstitution).

Beispiel

Löse die Gleichung.

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Was ist bei einer quadratischen Gleichung mit einem Parameter zu beachten?

#1318

In einer quadratischen Gleichung mit x als gesuchte Variabe kann eine weitere Variable (=Parameter) k vorkommen. Abhängig von k kann es zwei, eine oder keine Lösung für x geben. Wenn es mehrere Lösungen gibt, so sind diese abhängig von k.

Beispiel

Ermittle, für welche Werte von k es zwei/eine/keine Lösung(en) gibt. Gib, falls vorhanden, die Lösung(en) in Abhängigkeit von k an:

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