Quadratische Gleichungen - Lösungstechniken, Matheübungen

Quadratische Gleichungen rechnerisch lösen: durch Wurzelziehen (Spezialfälle ax² + c = 0), durch Faktorisieren (ausklammern ax² + bx = 0 bzw. binomische Formel); pq-Formel; mit Rechteck-Modell (Vieta); Vergleich aller Lösungsverfahren - Lehrplan für 5.-11. Klasse

Hilfe
  • Nicht alle müssen quadratisch ergänzt werden - erkenne Binome!

Löse folgende quadratische Gleichung mit der quadratischen Ergänzung und der Fallunterscheidung. Gibt es nur eine bzw. gar keine Lösung, so trage ein "!" im zweiten Feld bzw. in beiden Feldern ein. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 2. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  •  Zwischenschritte aktiviert
    Für diese Aufgabe müssen Zwischenschritte aktiviert sein
  • x
    2
    +
    6x
    +
    4
    =
    0
    Die Aufgabe kann nur schrittweise gelöst werden. Klicke auf "Schritte".
    Schritt 1/2
    Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung lässt sich die Gleichung umformen… Ergänze passend:
    2
    =
    0
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Quadratische Gleichungen
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Quadratische Gleichungen

Kanal: Mathegym
Wie kann eine quadratische Gleichung eine oder zwei Lösungen haben? Gib jeweils ein Beispiel und begründe dies.
#433
Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Daher hat eine quadratische Gleichung der Form
  • (x − 1)⋅(x + 2) = 0 die zwei Lösungen 1 und -2
  • (x − 3)² = 0 nur die Lösung 3
Beispiel
Gib eine quadratische Gleichungen an, die als einzige Lösung x = -5 hat.
Was ist die pq-Formel und wofür wird sie verwendet?
#562

Die Lösungen der quadratische Gleichung x² + px + q = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. pq-Formel bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = (p/2)² − q

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x1,2 =-p/2 ± √D

Beispiel
Löse die Gleichung 
x
2
−
9x
+
2
=
0
.
Wie wendet man die pq-Formel auf eine quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 1 an?
#563
Ist die quadratische Gleichung in der Form

ax² + bx + c = 0

gegeben (d.h. steht vor x² eine Zahl ≠ 1), so muss man die Gleichung erst auf beiden Seiten durch a teilen (a ≠ 0 vorausgesetzt), bevor man die pq-Formel anwendet.
Beispiel
Löse die Gleichung 
2x
2
−
10x
=
14
.