Quadratische Gleichungen - Lösungstechniken, Matheübungen

Quadratische Gleichungen rechnerisch lösen: durch Wurzelziehen (Spezialfälle ax² + c = 0), durch Faktorisieren (ausklammern ax² + bx = 0 bzw. binomische Formel); pq-Formel; mit Rechteck-Modell (Vieta); Vergleich aller Lösungsverfahren - Lehrplan für 5.-11. Klasse

Hilfe
  • Ist die quadratische Gleichung in der Form

    ax² + bx + c = 0

    gegeben (d.h. steht vor x² eine Zahl ≠ 1), so muss man die Gleichung erst auf beiden Seiten durch a teilen (a ≠ 0 vorausgesetzt), bevor man die pq-Formel anwendet.
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Löse mit Hilfe der pq-Formel.

  • −
    3x
    2
    +
    5,1x
    −
    1,56
    =
    0
    x
    1
    =
    x
    2
    =
    Notizfeld
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Quadratische Gleichungen
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Quadratische Gleichungen

Kanal: Mathegym
Wie kann eine quadratische Gleichung eine oder zwei Lösungen haben? Gib jeweils ein Beispiel und begründe dies.
#433
Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Daher hat eine quadratische Gleichung der Form
  • (x − 1)⋅(x + 2) = 0 die zwei Lösungen 1 und -2
  • (x − 3)² = 0 nur die Lösung 3
Beispiel
Gib eine quadratische Gleichungen an, die als einzige Lösung x = -5 hat.
Was ist die pq-Formel und wofür wird sie verwendet?
#562

Die Lösungen der quadratische Gleichung x² + px + q = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. pq-Formel bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = (p/2)² − q

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x1,2 =-p/2 ± √D

Beispiel
Löse die Gleichung 
x
2
−
9x
+
2
=
0
.
Wie wendet man die pq-Formel auf eine quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 1 an?
#563
Ist die quadratische Gleichung in der Form

ax² + bx + c = 0

gegeben (d.h. steht vor x² eine Zahl ≠ 1), so muss man die Gleichung erst auf beiden Seiten durch a teilen (a ≠ 0 vorausgesetzt), bevor man die pq-Formel anwendet.
Beispiel
Löse die Gleichung 
2x
2
−
10x
=
14
.