Quadratische Gleichungen, Matheübungen

Unterschiedliche Lösungsmethoden quadratischer Gleichungen und deren grafische Interpretation; Ermittlung quadratischer Gleichungen anhand der vorgegebenen Lösung(en); funktionale Abhängigkeit - Lehrplan

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  • Um zu ermitteln, ob die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 überhaupt gelöst werden kann und ob es - falls ja - eine oder zwei Lösungen gibt, berechnet man am besten zuerst die sog. Diskriminante:

    D = b² − 4ac

    • Gilt D < 0, so ist die quadratische Gleichung unlösbar.
    • Gilt D = 0, so hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung.
    • Gilt D > 0, so hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.

Bringe die Gleichung durch Addition/Subtraktion in die Form ax² + bx + c = 0 und berechne schließlich die Diskriminante (= Zahl, die in der Mitternachtsformel unter der Wurzel steht).

  • 3x
    2
    −
    3
    =
    5x
    D
    =
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Quadratische Gleichungen
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Quadratische Gleichungen

Kanal: Mathegym
Welche zwei Spezialfälle quadratischer Gleichungen ermöglichen eine Lösung ohne die allgemeine Lösungsformel und wie löst man diese?
#242
Quadratische Gleichungen können leicht gelöst werden, wenn
  • x nur im Quadrat vorkommt (z.B. -2x² + 3 = 2)
    → nach x² auflösen, zuletzt Wurzel ziehen; beachte "±" !
  • keine (additiven) Konstanten auftreten (z.B. -2x² = 3x)
    → alle x-Terme auf eine Seite und x ausklammern
Beispiel
Löse jeweils so einfach wie möglich (ohne Lösungsformel):
1
    
−
2x
2
+
5
=
0
2
    
1
3
·
x
−
2
2
−
3
=
0
3
    
−
3x
2
+
2x
=
0
Wie identifiziert man die Koeffizienten a, b und c in einer quadratischen Gleichung?
#241
Merke:
  • a ist der x² zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x² steht)
  • b ist der x zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x steht). Kommt x in der Gleichung nicht vor, so ist b = 0.
  • c ist die Konstante (d.h. c steht solo, ohne x oder x²). Kommt keine Konstante in der Gleichung vor, so ist c = 0.
Wie berechnet man die Diskriminante einer quadratischen Gleichung und was sagt sie aus?
#843

Um zu ermitteln, ob die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 überhaupt gelöst werden kann und ob es - falls ja - eine oder zwei Lösungen gibt, berechnet man am besten zuerst die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

  • Gilt D < 0, so ist die quadratische Gleichung unlösbar.
  • Gilt D = 0, so hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung.
  • Gilt D > 0, so hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.
Was besagt der Satz vom Nullprodukt und was sind Vielfachheiten von Lösungen?
#693
Der Satz vom Nullprodukt sagt:

Ein Produkt von zwei Zahlen ist genau dann null, wenn (mindetens) ein Faktor null ist.

In formalerer Schreibweise: Aus a·b = 0 folgt a = 0 und/oder b = 0 und umgekehrt.

Vielfachheit von Lösungen:

Die Gleichung (x − 1)2 = 0 hat nur die Lösung x = 1, da der Faktor (x − 1) aber zwei Mal auftritt, sagt man, dass x = 1 eine zweifache Lösung ist.

Entsprechend gibt es einfache, dreifache usw. Lösungen.

Beispiel
Löse die Gleichung.
x
−
1
·
3x
−
5
2
=
0
Wie kann man jede Gleichung graphisch lösen, wenn eine Lösung existiert?
#431
Eine Gleichung kann graphisch gelöst werden, indem man beide Seiten der Gleichung als Funktionsterm betrachtet und die zugehörigen Graphen zeichnet. Die Stellen, wo sie sich schneiden bzw. berühren, sind die Lösungen der Gleichung. Keine gemeinsamen Punkte dagegen heißt keine Lösung.
Beispiel
Löse graphisch:
0,5x
2
−
1
=
−
1,5x
−
2
Was ist die Mitternachtsformel und wie bestimmt man die Anzahl der Lösungen?
#243

Die Lösungen der quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. Mitternachtsformel (MNF) bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x1,2 = (−b ± √D) : 2a

Beispiel 1
Löse die Gleichung 
2x
2
−
5x
−
7
=
0
.
Beispiel 2
Löse die Gleichung:
1
3
 
x
−
x
2
+
7
=
5
+
x
Wie kann eine quadratische Gleichung eine oder zwei Lösungen haben? Gib jeweils ein Beispiel und begründe dies.
#433
Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Daher hat eine quadratische Gleichung der Form
  • (x − 1)⋅(x + 2) = 0 die zwei Lösungen 1 und -2
  • (x − 3)² = 0 nur die Lösung 3
Beispiel
Gib eine quadratische Gleichungen an, die als einzige Lösung x = -5 hat.
Was sind die rückwärts gerichteten binomischen Formeln und wie werden sie angewendet?
#266

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten in der Rückwärtsversion:

  1. a² + 2ab + b² = (a + b)²
  2. a² − 2ab + b² = (a − b)²
  3. a² − b² = (a + b) (a − b)

In dieser Richtung (links ohne Klammer, rechts mit) ermöglichen die Formeln, eine Summe oder Differenz in ein Produkt umzuformen ("faktorisieren"). Hier ist es wichtig, dass man den linken Term erst einmal überprüft: Liegt die passende Struktur für eine BF vor? Eine Probe (andere Richtung) gibt Gewissheit.

Beispiel
Löse durch Faktorisieren:
x
2
−
1
9
=
0
Wie viele Nullstellen kann eine quadratische Funktion haben und wie bestimmt man diese?
#993
Eine quadratischen Funktion kann maximal zwei Nullstellen haben. Deren Bestimmung läuft auf das Lösen einer quadratischen Gleichung hinaus. Je nachdem, in welcher Form der Funktionsterm gegeben ist, wendet man die Lösungsformel (Mitternachtsformel oder p-q-Formel) an oder wählt ein leichteres Verfahren:
  • Scheitelpunktform: forme die Gleichung um in (x+...)2=... und radiziere dann auf beiden Seiten
  • Nullstellenform: die Nullstellen können ohne weitere Rechnung abgelesen werden