1.1 Die Quadratwurzel, Matheübungen

Quadratwurzeln - Lehrwerk mathe.delta (5.-10. Klasse) - 150 Aufgaben in 19 Levels

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  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Die Wurzel einer nicht negativen Zahl a ist diejenige nicht negative Zahl Zahl, die quadriert a ergibt, also

    (√a)2 = a.

    Die Zahl unter der Wurzel nennt man Radikand.

    Laut dieser Definition gilt also: Weder der Radikand noch der Wert des Wurzelterms dürfen/können negativ sein!
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 11 in Level 17
  • Berechne ohne Taschenrechner.
    • 1
    7
    9
    =
    Bemerkung: die Zahl unter der Wurzel nennt man "gemischte Zahl", sie bedeutet 
    1
    +
    7
    9
    .
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Quadratwurzel
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Quadratwurzel

Kanal: Mathegym
Was bedeutet der Ausdruck a² in der Mathematik?
#712

a2 = a · a

Beispiel
Berechne:
5
2
=
?
80
2
=
?
0,3
2
=
?
−
4
2
=
?
Was ist die Definition von \( \sqrt{a} \), was ist der Radikand und welche Bedingungen muss dieser erfüllen?
#224
Die Wurzel einer nicht negativen Zahl a ist diejenige nicht negative Zahl Zahl, die quadriert a ergibt, also

(√a)2 = a.

Die Zahl unter der Wurzel nennt man Radikand.

Laut dieser Definition gilt also: Weder der Radikand noch der Wert des Wurzelterms dürfen/können negativ sein!
Beispiel 1
16
=
▇
, denn 
▇
2
=
▇
.
Beispiel 2
0,0016
=
16
10000
=
4
100
2
=
4
100
=
0,04
Beispiel 3
3
6
25
=
81
25
=
9
5
2
=
9
5
Was sind die Eigenschaften und Formeln für Mantelfläche, Oberfläche und Volumen eines Zylinders?
#663

Ein Zylinder ist ein Körper, der von zwei identischen Kreisen (als Grund- und Deckfläche) erzeugt wird. Bei einem geraden Zylinder liegen die beiden Kreisflächen im Abstand h (Höhe des Zylinders) senkrecht übereinander.

Die gekrümmte Seitenfläche des Zylinders bezeichnet man als Mantel. Abgerollt ist der Mantel ein Rechteck mit Länge = Umfang des Kreises und Breite = Höhe des Zylinders.

Ein Zylinder mit Radius r und Höhe h hat
  • die Mantelfläche M = 2r·π·h ("Umfang mal Höhe")
  • die Oberfläche O = 2r·π·h + 2·r²·π ("Mantel plus Boden und Deckel")
  • das Volumen V = r²·π·h ("Grundfläche mal Höhe")
Die Wurzel einer nicht negativen Zahl a ist diejenige nicht negative Zahl Zahl, die quadriert a ergibt.
Die Quadratwurzel ziehen und quadrieren sind Operationen, die sich gegenseitig aufheben. Es gilt:
(√a)2 = a.
√a2=√(a ∙ a) = a
Beispiel
Berechne:
7
2
=
▇
7
2
=
▇
Wie kann man Wurzelausdrücke mit Minus-Vorzeichen berechnen?
#1302
Die Wurzel einer nicht negativen Zahl a ist diejenige nicht negative Zahl Zahl, die quadriert a ergibt, also (√a)2 = a.
Beachte:
√(- a)²=a, denn √(- a)²=√(- a) ∙ (- a)=√a²=a ("Minus mal Minus ergibt Plus.")
-√a²= - a, denn -√a²= -1 ∙ √a²= - 1 ∙ a= - a
√- a hat für a > 0 keine Lösung, da man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann.
Beispiel
Berechne ohne Taschenrechner. Gib "!" ein, falls es keine Lösung gibt.
−
3
2
=
▇
−
9
=
▇
−
9
=
▇
Wie kann man \( \sqrt{a^2} \) vereinfachen, wenn a auch negativ sein könnte?
#229
Beachte beim Rechnen mit Variablen, dass (weil a auch negativ sein könnte)

√(a²) = | a |

Der Betragstrich ist nicht nötig, wenn a < 0 ausgeschlossen werden kann. Ist hingegen bekannt, dass a negativ ist, kann man statt des Betrags auch konkret schreiben

√(a²) = −a

Ob eine Variable unter der Wurzel positiv oder negativ ist, erschließt sich oft indirekt aus der Aufgabenstellung.

Beispiel
Gegeben ist der Term 
x
6
.
Welche Werte können für x eingesetzt werden und wie lautet der vereinfachte Term?
Wie funktioniert der Heron-Algorithmus zur Bestimmung von Quadratwurzeln?
#871

Der Heron-Algorithmus ist ein Verfahren, mit dem sich √a, also die Wurzel von a für a∈Q+, mit zunehmender Genauigkeit bestimmen lässt.

  1. Man startet am besten mit einer Zahl x1, deren Quadrat in etwa a entspricht. Teilt man a durch diesen Startwert x1, so erhält man eine Zahl y1, die zusammen mit x1 das Intervall absteckt, in dem √a liegt.
  2. Man rechnet nun die Mitte dieses Intervalls aus, also ½·(x1+y1), und fährt mit diesem neuen Wert (= x2) in dem Algorithmus fort.
Die dabei entstehenden Intervalle, die alle √a enthalten, werden immer kleiner und die Abschätzung somit immer ganauer.
Beispiel
Bestimme 
5
 auf drei Dezimalstellen genau.