Quadratwurzeln - Einführung, Heron-Verfahren, Matheaufgaben

Bestimmung einfacher Quadratwurzeln, Erkennen irrationaler Zahlen, annähernde Bestimmung mit dem Heron-Algorithmus, Vorzeichenbetrachtung bei Variablen unter der Wurzel

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Quadratwurzel

Kanal: Mathegym

Die Wurzel einer nicht negativen Zahl a ist diejenige nicht negative Zahl Zahl, die quadriert a ergibt.
Die Quadratwurzel ziehen und quadrieren sind Operationen, die sich gegenseitig aufheben. Es gilt:
(√a)² = a.
√a²=√(a ∙ a) = a

Beispiel

Berechne:

▇

▇

Was ist die Definition von \( \sqrt{a} \), was ist der Radikand und welche Bedingungen muss dieser erfüllen?

#224

Die Wurzel einer nicht negativen Zahl a ist diejenige nicht negative Zahl Zahl, die quadriert a ergibt, also

(√a)² = a.

Die Zahl unter der Wurzel nennt man Radikand.

Laut dieser Definition gilt also: Weder der Radikand noch der Wert des Wurzelterms dürfen/können negativ sein!

Beispiel 1

Beispiel 2

0,0016

10000

100

0,04

Wie kann man Wurzelausdrücke mit Minus-Vorzeichen berechnen?

#1302

Die Wurzel einer nicht negativen Zahl a ist diejenige nicht negative Zahl Zahl, die quadriert a ergibt, also (√a)2 = a.
Beachte:
√(- a)²=a, denn √(- a)²=√(- a) ∙ (- a)=√a²=a ("Minus mal Minus ergibt Plus.")
-√a²= - a, denn -√a²= -1 ∙ √a²= - 1 ∙ a= - a
√- a hat für a > 0 keine Lösung, da man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann.

Beispiel

Berechne ohne Taschenrechner. Gib "!" ein, falls es keine Lösung gibt.

−

▇

−

▇

−

▇

Was sind die Zahlenmengen N, Z, Q und R und wie unterscheiden sie sich?

#627

Unterscheide folgende Zahlenmengen:

N = {1, 2, 3, ...}
Menge der natürliche Zahlen
Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...}
Menge der ganze Zahlen; enthält über N hinaus auch noch 0 und die negativen (ganzen) Zahlen
Q = {p/q | p ∈ Z, q ∈ N}
Menge der rationalen Zahlen; enthält über Z hinaus auch noch alle (nicht ganzzahligen) Brüche
R
Menge der reellen Zahlen; enthält über Q hinaus auch noch alle irrationalen Zahlen wie z.B. √2 oder π

Was bedeutet der Ausdruck a² in der Mathematik?

#712

a² = a · a

Beispiel

Berechne:

0,3

−

Was sind reelle Zahlen und welche Zahlenarten gehören dazu?

#878

Zu den reellen Zahlen ℝ gehören alle rationalen Zahlen ℚ und alle irrationalen Zahlen.

Rationale Zahlen kann man als endlichen Bruch darstellen. Als Dezimalzahl haben sie keine, endlich viele Nachkommastellen oder die Nachkommastellen wiederholen sich periodisch.

Irrationale Zahlen kann man nicht als endlichen Bruch darstellen. Als Dezimalzahl haben sie unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht periodisch wiederholen.

Beispiel

Welche der reellen Zahlen sind rational, welche irrational?

0,1

≈

1,4142135...

Wie kann man \( \sqrt{a^2} \) vereinfachen, wenn a auch negativ sein könnte?

#229

Beachte beim Rechnen mit Variablen, dass (weil a auch negativ sein könnte)

√(a²) = | a |

Der Betragstrich ist nicht nötig, wenn a < 0 ausgeschlossen werden kann. Ist hingegen bekannt, dass a negativ ist, kann man statt des Betrags auch konkret schreiben

√(a²) = −a

Ob eine Variable unter der Wurzel positiv oder negativ ist, erschließt sich oft indirekt aus der Aufgabenstellung.

Beispiel

Gegeben ist der Term

Welche Werte können für x eingesetzt werden und wie lautet der vereinfachte Term?

Wie funktioniert der Heron-Algorithmus zur Bestimmung von Quadratwurzeln?

#871

Der Heron-Algorithmus ist ein Verfahren, mit dem sich √a, also die Wurzel von a für a∈Q⁺, mit zunehmender Genauigkeit bestimmen lässt.

Man startet am besten mit einer Zahl x₁, deren Quadrat in etwa a entspricht. Teilt man a durch diesen Startwert x₁, so erhält man eine Zahl y₁, die zusammen mit x₁ das Intervall absteckt, in dem √a liegt.
Man rechnet nun die Mitte dieses Intervalls aus, also ½·(x₁+y₁), und fährt mit diesem neuen Wert (= x₂) in dem Algorithmus fort.

Die dabei entstehenden Intervalle, die alle √a enthalten, werden immer kleiner und die Abschätzung somit immer ganauer.

Beispiel

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