Raumgeometrie - Anwendungen, Matheübungen

Innermathematische und sachbezogene Anwendungsaufgaben zu den räumlichen Körpern Prisma, Pyramide, Zylinder und Kegel (in Bezug auf Volumen, Oberfläche, Winkel und Streckenlängen)

Hilfe
  • Die wichtigsten Werkzeuge beim Umgang mit Strecken und Winkeln in der Raumgeometrie:

    Im rechtwinkligen Dreieck mit (Gegen-)Kathete a und (An-)Kathete b und Hypotenuse c gilt:
    • Der Satz von Pythagoras: a² + b² = c²
    • Trigonometrische Gleichungen: sin(α) = a/c, cos(α) = b/c, tan(α) = a/b

    Auch der Strahlensatz kann in der Raumgeometrie oft weiterhelfen:

    In der V-Figur sind folgende Verhältnisse gleich:

    e : b = f : c = d : a (kleines Dreieck : großes Dreieck)

    e : h = f : g (vorderer Abschnitt : hinterer Abschnitt)

Gesucht sind Strecken bzw. Winkel im Sachzusammenhang. Löse die Aufgabe Schritt für Schritt.

  • graphik
    Die Abbildung zeigt einen pyramidenförmigen, unten offenen Lampenschirm. Er besteht aus einem Rahmen aus Drahtstücken, die entlang der Pyramdidenkanten verlaufen und an den Eckpunkten miteinander verlötet sind. Über den Rahmen ist ein Leinwandstoff gespannt, der von innen beleuchtet wird.
    Beim Bau der Lampe muss man wissen, welche Drahtlänge in Dezimetern man insgesamt ungefähr benötigt und in welchem Winkel α die Seitenkanten untereinander verlötet werden müssen. Berechne die jeweiligen Werte (auf ganze dm bzw. Grad gerundet), wenn die Lampe die Höhe h = 24cm und eine quadratische Grundfläche mit Seitenlänge s = 20cm besitzen soll. (Runde jedoch keine Zwischenergebnisse, sondern rechne durchgehend mit Taschenrechnergenauigkeit!)
    Gesamte Drahtlänge: ℓ ≈ dm (!)
    Winkel: α ≈ °
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keine Berechtigung
Wie berechnet man die Volumina von Prismen, Pyramiden, Zylindern und Kegeln?
#770
Volumenformeln im Überblick:
  • Quader und Prisma: V = G · h
  • Pyramide: V = ⅓ G · h
  • Zylinder: V = r² π · h
  • Kegel: V = ⅓ r² π · h
Welche Werkzeuge sind in der Raumgeometrie für den Umgang mit Strecken und Winkeln wichtig?
#772
Die wichtigsten Werkzeuge beim Umgang mit Strecken und Winkeln in der Raumgeometrie:

Im rechtwinkligen Dreieck mit (Gegen-)Kathete a und (An-)Kathete b und Hypotenuse c gilt:
  • Der Satz von Pythagoras: a² + b² = c²
  • Trigonometrische Gleichungen: sin(α) = a/c, cos(α) = b/c, tan(α) = a/b

Auch der Strahlensatz kann in der Raumgeometrie oft weiterhelfen:

In der V-Figur sind folgende Verhältnisse gleich:

e : b = f : c = d : a (kleines Dreieck : großes Dreieck)

e : h = f : g (vorderer Abschnitt : hinterer Abschnitt)

Wie berechnet man die Oberflächen von Prismen, Pyramiden, Zylindern und Kegeln und aus welchen Flächen setzen sie sich zusammen?
#771
Oberflächenformeln im Überblick (G: Grundfläche; M: Mantelfläche):
  • Gerades Prisma: O = 2·G + M (Der Mantel besteht aus mehreren Rechtecken)
  • Pyramide: O = G + M (Der Mantel besteht aus mehreren Dreiecken)
  • Zylinder: O = 2·G + M = 2 · r² π + 2 π r · h (G ist eine Kreisfläche, M eine Rechtecksfläche)
  • Kegel: O = G + M = r² π + r π m (G ist eine Kreisfläche, M die Fläche eines Kreissektors)

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