Satz des Pythagoras - Figuren, Matheübungen

Längenberechnungen in Figuren mit Hilfe von Pythagoras - Lehrplan G9 (5.-11. Klasse)

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Verwende den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck der Skizze um einen Term für die Strecke c in Abhängigkeit von x aufzustellen.
  • Stelle einen Term in Abhängigkeit von x auf und forme ihn mithilfe der quadratischen Ergänzung so um, dass du den Extremwert bestimmen kannst.
  • Bei Extremwertaufgaben geht man am besten in folgenden Schritten vor:
    1. Darstellung der zu optimierenden Größe als Term
    2. Term in Abhängigkeit von x angeben
    3. Term umformen mithilfe der quadratischen Ergänzung.
    4. Extremwert und zugehöriges x ablesen.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu dieser Aufgabe" unterhalb der Aufgabe.
Die Aufgaben aus diesem Level gehen über den Lehrplan hinaus oder sind Zusatzaufgaben.

Bestimme jeweils den Extremwert und den zugehörigen Wert für x.

  • Auf der Geraden 
    g:
     
    y
    =
    x
    +
    1
     liegen die Punkte 
    A
    n
     
    x
     
    |
     
    x
    +
    1
    , die mit B(1|4) die Strecken 
    A
    n
     
    B
     bilden. Für welchen Wert von 
    x
    min
     ist 
    c
    =
    A
    n
     
    B
     minimal? Wie lang ist dann 
    c
    min
    ?
    graphik
    x
    min
    =
    c
    min
    =
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
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Satz des Pythagoras + Beweis mittels Ähnlichkeit
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Satz des Pythagoras + Beweis mittels Ähnlichkeit

Kanal: Mathegym
Nach dem Satz des Pythagoras gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck:

Hypotenuse2 = erste Kathete2 + zweite Kathete2

Zur Erinnerung: Die Hypotenuse ist diejenige der drei Seiten, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Sie ist damit auch immer die längste aller drei Seiten.
Beispiel 1
Bestimme x.
graphik
Beispiel 2
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit ∠A = 90°; a = 3; b = 2. Bestimme c.
Beispiel 3
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis b = 5 LE und Flächeninhalt A = 31 FE. Berechne die Länge seiner Schenkel s.

Die Entfernung zweier Punkte A und B erhält man, indem man ein rechtwinkliges Dreieck mit AB als Hypotenuse und den Kathetenlängen xB − xA und yB − yA (gemeint sind die x- und y-Koordinaten von A und B) betrachtet. Nach dem Satz des Pythagoras muss man die Quadrate beider Differenzen summieren und aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen, um die Entfernung zwischen A und B zu erhalten.

Beispiel
Bestimme den Abstand des Punktes P(-5|3) von der Geraden y=3x-1 mit Hilfe von Pythagoras und quadratischer Ergänzung.
Bei Extremwertaufgaben geht man am besten in folgenden Schritten vor:
  1. Darstellung der zu optimierenden Größe als Term
  2. Term in Abhängigkeit von x angeben
  3. Term umformen mithilfe der quadratischen Ergänzung.
  4. Extremwert und zugehöriges x ablesen.
Beispiel
Auf der Geraden 
g:
 
y
=
2x
−
1
 liegen die Punkte 
A
n
 
x
 
|
 
2x
−
1
 die mit B(0|4) die Strecken 
A
n
 
B
 bilden. Für welchen Wert von x ist 
c
=
A
n
 
B
 minimal? Wie lang ist dann 
c
min
?
Bei Extremwertaufgaben geht man am besten in folgenden Schritten vor:
  1. Darstellung der zu optimierenden Größe als Term
  2. Term in Abhängigkeit von einer Variable (z.B. "x") darstellen
  3. Term in Nullstellen- oder Scheitelpunktform umwandeln
  4. Extremwert und zugehöriges "x" bestimmen
Beispiel
Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basislänge 4 und der Höhe 3,5 ist ein Rechteck einbeschrieben. Bestimme Länge und Breite des Rechtecks mit dem maximalen Flächeninhalt.