Satz des Pythagoras, Mathe-Übungen

Längenberechnungen am rechtwinkligen Dreieck und komplexeren Figuren/Körpern mit Hilfe des Satzes von Pythagoras - Lehrplan für 5.-13. Klasse

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Satz von Thales: Wenn ein Punkt C auf dem Halbkreis über der Strecke von A nach B liegt, dann ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig. Umkehrung des Satzes von Thales: Wenn ein Dreieck ABC bei C rechtwinklig ist, dann liegt der Punkt C auf dem Halbkreis über der Strecke von A nach B.
  • Prüfe, ob die Voraussetzung für die Umkehrung des Satzes von Pythagoras gegeben ist, um dann auf einen rechten Winkel schließen zu können.
  • Gilt in einem Dreieck mit den Seiten a,b und c die Gleichung

    c2 = a2 + b2,

    so handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck mit den beiden Katheten a und b und der Hypotenuse c.

Löse die geometrische Aufgabe und begründe jeden Schritt, indem du aus den Listen die passenden Formulierungen auswählst.

  • Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen 
    a
    =
    8cm,
     
    b
    =
    15cm
     und 
    c
    =
    17cm
    . Der Mittelpunkt der Strecke c wird mit M bezeichnet. Begründe, dass der Eckpunkt C des Dreiecks auf dem Kreis um M mit Radius 8,5cm liegt.
    Es gilt
    Somit ist die Voraussetzung für
    erfüllt. Deshalb besitzt das Dreieck ABC bei
    einen rechten Winkel. Aus
    folgt, dass der Eckpunkt C auf dem Thaleskreis
    liegt, was zu beweisen war.
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Satz des Pythagoras + Beweis mittels Ähnlichkeit
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Satz des Pythagoras + Beweis mittels Ähnlichkeit

Kanal: Mathegym
Nach dem Satz des Pythagoras gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck:

Hypotenuse2 = erste Kathete2 + zweite Kathete2

Zur Erinnerung: Die Hypotenuse ist diejenige der drei Seiten, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Sie ist damit auch immer die längste aller drei Seiten.
Beispiel 1
Bestimme x.
graphik
Beispiel 2
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit ∠A = 90°; a = 3; b = 2. Bestimme c.
Beispiel 3
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis b = 5 LE und Flächeninhalt A = 31 FE. Berechne die Länge seiner Schenkel s.
Beispiel 4
P halbiert die obere Kante. Bestimme 
PQ
 in Abhängigkeit von a.
graphik
Gilt in einem Dreieck mit den Seiten a,b und c die Gleichung

c2 = a2 + b2,

so handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck mit den beiden Katheten a und b und der Hypotenuse c.
Beispiel
Prüfe, ob das Dreieck ABC mit den Seitenlängen 
a
=
7
, 
b
=
3
 und 
c
=
5
 rechtwinklig ist. Falls ja, wo liegt der rechte Winkel?
Zeichnet man in einem rechtwinkligen Dreieck die Höhe (durch den rechten Winkel) ein, so wird die Hypotenuse in zwei Abschnitte unterteilt. Es gelten der Höhen- und der Kathetensatz:

Höhe2 = Produkt der Hypotenusenabschnitte

Kathete2 = Hypotenuse · anliegender Abschnitt

Beispiel
Bestimme in den skizzierten Dreiecken jeweils x.
graphik

Die Entfernung zweier Punkte A und B erhält man, indem man ein rechtwinkliges Dreieck mit AB als Hypotenuse und den Kathetenlängen xB − xA und yB − yA (gemeint sind die x- und y-Koordinaten von A und B) betrachtet. Nach dem Satz des Pythagoras muss man die Quadrate beider Differenzen summieren und aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen, um die Entfernung zwischen A und B zu erhalten.