Stammfunktionen, Matheübungen

Zeigen, dass F(x) Stammfunktion von f(x) ist; F(x) nach Ableitungsregel (rückwärts) ermitteln; Graphen von F und f einander zuordnen; Eigenschaften von F und f graphisch ermitteln - Lehrplan G9 (5.-12. Klasse)

Hilfe
  • Überlege bei jeder Farbe: Kann es sich um eine Ableitung handeln und wenn ja, von welchen Graphen?
  • Hinsichtlich f, F (Stammfunktion von f) und f´ gilt also die "Ableitungskette"

    F → f → f´

    Ihre Graphen stehen in folgendem Zusammenhang:

    F bzw. f f bzw. f´
    streng monoton steigend verläuft oberhalb der x-Achse
    streng monoton fallend verläuft unterhalb der x-Achse
    waagrechte Tangente schneidet/berührt die x-Achse

Dargestellt sind unter anderem die Graphen von f, f´ und F (Stammfunktion). Ordne richtig zu.

  • graphik
    Funktion f:
    Ableitung f ´:
    Stammfunktion F:
    Notizfeld
    Notizfeld
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Graph einer Stammfunktion skizzieren
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Graph einer Stammfunktion skizzieren

Kanal: Mathegym
Was ist eine Stammfunktion F von f und welche Beziehung besteht zwischen den Werten von f und F?
#401

Die Funktion F ist genau dann eine Stammfunktion von f, wenn F´ = f (wenn also f die Ableitung von F ist). Damit gilt folgender Zusammenhang

F bzw. GF f (x)
streng monoton steigend > 0 im betrachteten Intervall
streng monoton fallend < im betrachteten Intervall
keine Steigung (waagrechte Tangente) = 0
Wie berechnet man die Stammfunktion einer Potenzfunktion?
#570
Stammfunktion einer Potenzfunktion: Für alle ganzen Zahlen n ≠ -1 gilt

∫ xn dx = 1 / (n + 1) · xn + 1 + C

Man geht also umgekehrt zum Ableiten vor: beim Ableiten wird zuerst mit n multipliziert, dann der Exponent n um 1 reduziert. Beim Bilden der Stammfunktion wird zuerst der Exponent n um 1 vergrößert, dann durch n+1 geteilt.

Spezialfall n = -1:

∫ 1/x dx = ln |x| + C

Beispiel
Gib eine Stammfunktion für 
f
 
x
=
2
3
 
x
7
 an.
Was versteht man unter der "Ableitungskette" in Bezug auf Funktionen und ihre Graphen?
#402
Hinsichtlich f, F (Stammfunktion von f) und f´ gilt also die "Ableitungskette"

F → f → f´

Ihre Graphen stehen in folgendem Zusammenhang:

F bzw. f f bzw. f´
streng monoton steigend verläuft oberhalb der x-Achse
streng monoton fallend verläuft unterhalb der x-Achse
waagrechte Tangente schneidet/berührt die x-Achse