Stetigkeit, Matheübungen

Begriff verdeutlichen, abschnittweise definierte Funktion auf Stetigkeit überprüfen bzw. so ergänzen, dass sie stetig ist - 14 Aufgaben in 3 Levels

Hilfe
  • Hilfe zum Thema
    Die Graphen mancher Funktionen weisen an bestimmten Stellen ihrer Definitionsmenge Sprünge auf. Man nennt die Funktion dann an solchen Stellen unstetig (ansonsten stetig). Ist eine Funktion an jeder definierten Stelle stetig, so nennt man sie (insgesamt) stetig.

    Bei den bisher behandelten Funktionstypen (ganzrational, gebrochen-rational, exponentiell, trigonometrisch) handelt es sich um stetige Funktionen. Dagegen ist z.B. die Rundungsfunktion, die jeder reellen Zahl den auf Ganze gerundeten Wert zuordnet, nicht stetig (siehe Abbildung).

    Erläuterung: "Knödel" und "Kringel" verdeutlichen, ob der jew. Punkt zum Graphen G gehört oder nicht. Z.B. gilt (0,5|0) ∉ G, aber (0,5|1) ∈ G (weil bei 0,5 auf 1 aufgerundet wird).

  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 1
  • Kreuze zutreffende Aussagen an. Mehrfachauswahl möglich! Evtl. stimmt auch keine der beiden Aussagen.
    • Ist die Funktion f an einer Stelle 
    x
    =
    x
    0
     stetig, so weist ihr Graph an dieser Stelle keinen Sprung auf.
    Ist die Funktion f stetig, so lässt sich ihr Graph mit dem Stift zeichnen, ohne dass man auch nur einmal absetzen muss.
Hilfe
Hilfe
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Wenn du ein Benutzerkonto hast, logge dich bitte zuvor ein.
Lösung
Achtung
Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt die Aufgabe als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diesen Level verschlechtert sich. Tipp: Sieh dir vor dem Anzeigen der Lösung die Hilfe zu dieser Aufgabe an.
Stoff zum Thema
Was bedeutet es, wenn eine Funktion als stetig oder unstetig bezeichnet wird, und was ist ein Beispiel für eine unstetige Funktion?
#1055
Die Graphen mancher Funktionen weisen an bestimmten Stellen ihrer Definitionsmenge Sprünge auf. Man nennt die Funktion dann an solchen Stellen unstetig (ansonsten stetig). Ist eine Funktion an jeder definierten Stelle stetig, so nennt man sie (insgesamt) stetig.

Bei den bisher behandelten Funktionstypen (ganzrational, gebrochen-rational, exponentiell, trigonometrisch) handelt es sich um stetige Funktionen. Dagegen ist z.B. die Rundungsfunktion, die jeder reellen Zahl den auf Ganze gerundeten Wert zuordnet, nicht stetig (siehe Abbildung).

Erläuterung: "Knödel" und "Kringel" verdeutlichen, ob der jew. Punkt zum Graphen G gehört oder nicht. Z.B. gilt (0,5|0) ∉ G, aber (0,5|1) ∈ G (weil bei 0,5 auf 1 aufgerundet wird).

Was versteht man unter einer abschnittweise definierten Funktion und wie prüft man ihre Stetigkeit?
#1056
Funktionen können auch durch mehrere Funktionsterme definiert sein, die jeweils in bestimmten Abschnitten der Gesamtdefinitionsmenge gelten. Man spricht von abschnittsweise definierten Funktionen.

Bei solchen Funktionen können an den Nahtstellen, also dort, wo die Abschnitte aufeinandertreffen, Unstetigkeitsstellen auftreten. Um die Funktion an einer Nahtstelle auf Stetigkeit zu überprüfen, setzt man diese in die Funktionsterme der beiden angrenzenden Abschnitte ein. Ergeben sich unterschiedliche Termwerte, so liegt eine Unstetigkeitsstelle vor. Ansonsten ist die Funktion dort stetig.

Beispiel 1
Überprüfe auf Stetigkeit.
f
 
x
=
−
3x
+
1
7
    
 
 
für x
 
<
 
−
4
1
x
−
3
+
2
    
für
−
4
 
≤
 
x
 
<
 
3
x
2
−
9
    
    
 
 
für x
 
≥
 
3
Beispiel 2
Ergänze zu einer in ganz ℝ definierten stetigen Funktion.
f
 
x
=
x
3
−
x
    
    
für x
 
≤
 
▇
2x
2
+
2x
    
für
 
▇
 
<
 
x
 
≤
 
0
▇
x
+
1
+
2
    
für x
 
>
 
0