Stochastik - Testen von Hypothesen, Matheübungen

Einseitiger und zweiseitiger Hypothesentest (Nullhypothese, Annahmebereich und Irrtumswahrscheinlichkeit) - Lehrplan - 30 Aufgaben in 10 Levels

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 8
  • Beschreibe, welcher Grund dazu geführt haben könnte, in der gegebenen Situation die Nullhypothese so festzulegen.

    • Jana spielt mit ihrem Bruder Mika "Mensch ärgere dich nicht". Jeder nutzt seinen eigenen Würfel. Schon bald gewinnt Mika aufgrund vieler guter Würfelergebnisse mit großem Vorsprung. Jana hat den Verdacht, dass Mika einen Würfel verwendet, der das Ergebnis 6 häufiger zeigt als ein fairer Würfel.

    Daher führt sie einen Signifikanztest der folgenden Nullhypothese durch:

    \(H_0\): "Die Wahrscheinlichkeit, mit Mikas Würfel eine 6 zu erzielen, beträgt mehr als \(\frac{1}{6}\)."

    Beschreibe allgemein und in diesem Sachzusammenhang den Fehler 1. Art. Erläutere, welchen Grund Jana für die Festlegung der genannten Nullhypothese gehabt haben könnte.

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Stoff zum Thema
Was sind Nullhypothese, Gegenhypothese, Testgröße, kritischer und nichtkritischer Bereich sowie rechtsseitiger und linksseitiger Test bei einem einseitigen Hypothesentest?
#1223
Bei einem einseitigen Hypothesentest sind folgende Begriffe von Bedeutung
  • H0: Nullhyothese; immer von der Art "p=", "p≤" oder "p≥" (mit Gleichheitszeichen)
  • H1: Gegenhypothese; immer von der Art "p<" oder "p>" (ohne Gleichheitszeichen)
  • Z: Testgröße, misst die Anzahl der Treffer in einer Stichprobe mit vorgegebener Länge
  • K: kritischer Bereich = Intervall, in dem Z liegen muss, damit Nullhypothese verworfen wird (Ablehnungsbereich der Nullhypothese)
  • K: nichtkritischer Bereich = Intervall, in dem Z liegen muss, damit Nullhypothese beibehalten wird (Annahmebereich der Nullhypothese)
  • rechtsseitiger bzw. linksseitger Test: hängt vom Ungleichheitszeichen der Gegenhypothese ab; bei "p>" liegt ein rechtsseitiger Test vor, da K in diesem Fall von der Art Z>k sein muss.
Wie formuliert man Null- und Gegenhypothese sowie kritischen und unkritischen Bereich?
#508
Checkliste bei der Festlegung von Null- und Gegenhypothese sowie kritischem und unkritischem Bereich:
  • H0 lautet "p =", "p ≤" oder "p ≥" ("=" kommt vor).
  • H1 lautet dagegen "p >" oder "p <" ("=" kommt nicht vor).
  • H1 und K (Ablehnungsbereich der Nullhypothese) verwenden dasselbe Ungleichheitszeichen
  • K und K decken zusammen den kompletten Stichprobenumfang ab und dürfen sich nicht überschneiden.
Beispiel
Ein Würfel ist angeblich gezinkt und bringt Augenzahl 6 deutlich häufiger hervor als alle anderen Augenzahlen. Dies soll durch 60 Würfe getestet werden. Fällt dabei "Augenzahl 6" mehr als 15 mal, so gilt der Verdacht als bestätigt. Formuliere H0 und H1 sowie kritischen und unkritischen Bereich.
Was versteht man unter Fehlern erster und zweiter Art in der Statistik?
#510
  • Fehler erster Art (α´): Die Nullhypothese wird abgelehnt (Z ∈ K), obwohl sie richtig ist
  • Fehler zweiter Art (β´): Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt (Z ∈ K), obwohl sie falsch ist

Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten nennt man Risiko erster bzw. zweiter Art.

Beispiel
Bestimme die Fehler erster und zweiter Art (letzteren für p = 0,05):
n
=
30
H
0
:
p
 
≥
 
0,1
 
     
 
K
=
{2; 3;...; 30}
H
1
:
p
<
0,1
 
     
 
K
=
{0; 1}
Wie beeinflusst der Annahmebereich der Nullhypothese das Risiko erster Art?
#511
Das Risiko erster Art ist umso kleiner, je größer der Annahmebereich K der Nullhypothese gewählt wird.
Was versteht man unter einem einseitigen Signifikanztest?
#512
Beim einseitigen Signifikanztest wird für das Risiko erster Art eine Schranke (Signifikanzniveau, z.B. 5%) vorgegeben. Annahme- und Ablehungsbereich der Nullhypothese (=Entscheidungsregel) sind dann also so zu bestimmen, dass diese Schranke (gerade noch) eingehalten wird.
Beispiel
H
0
:
p
 
≤
 
1
3
;
H
1
:
p
>
1
3
;
n
=
40
Gib einen möglichst großen Ablehnungsbereich der Nullhypothese für das Signifikanzniveau von 1% an.
Wie funktioniert der zweiseitige Signifikanztest bezüglich Annahmebereich, Signifikanzniveau und Irrtumswahrscheinlichkeit?
#707

Zweiseitiger Signifikanztest

Eine Nullhypothese H0: p=p0 wird getestet.

  • Der Annahmebereich liegt symmetrisch um den Erwartungswert.
  • Das Signifikanzniveau α legt die Größe des Annahmebereichs fest.
  • Überschlagsmäßig kann der Annahmebereich mit den Sigma-Regeln bestimmt werden.

Das Gegenteil der Nullhypothese wird als Alternative H1 bezeichnet.

Unter der Irrtumswahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit, die Hypothese zu verwerfen, obwohl sie zutrifft. Sie entspricht der Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs.

Beispiel
H0:
 
p
=
1
2
;
 
H1: p ≠
 
1
2
;
 
n
=
100
Bestimme für das Signifikanzniveau α = 5% den Annahmebereich zunächst überschlagsmäßig und anschließend genau. Bestimme auch die Irrtumswahrscheinlichkeit.