Stochastik - Zufallsgrößen und Verteilungen, Matheübungen

- Basisaufgaben zur Wiederholung G9 - 84 Aufgaben in 16 Levels

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    In einer Bernoulli-Kette der Länge n und Treffer-Wahrscheinlichkeit p bezeichne die Zufallsgröße X die Trefferzahl. Dann gilt:

    • Erwartungswert μ(X) =n·p
    • Standardabweichung σ(X) = √ n·p·(1-p)
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    Du musst zuerst μ und σ berechnen!
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 9
  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit des angegebenen Intervalls. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 1. Dezimalstelle gerundet eingeben!
  • Zwischen­schritte aktivieren
    • n=500; p=0,8
    Wahrscheinlichkeit der 2σ-Umgebung:
    P
     
    μ
    −
    2σ
     
    ≤
     
    X
     
    ≤
     
    μ
    +
    2σ
     
    ≈
     
    %
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Stoff zum Thema (+Video)
Was ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X?
#1214
Zu jeder Zufallsgröße X kann eine Wahrscheinlichkeitsverteilung angegeben werden. Meistens wird diese als zweizeilige Tabelle dargestellt. In der ersten Zeile sind sämtliche Werte aufgelistet, die X annehmen kann, in der zweiten Zeile stehen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
Was ist die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße?
#1215
Zu jeder Zufallsgröße X kann eine Wahrscheinlichkeitsverteilung angegeben werden. Meistens wird diese als zweizeilige Tabelle dargestellt. In der ersten Zeile sind sämtliche Werte aufsteigend aufgelistet, die X annehmen kann, in der zweiten Zeile stehen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung erhält man aus dieser Tabelle, indem man die erste Zeile, also die Werte für X, übernimmt und in der zweiten Zeile die Wahrscheinlichkeitswerte bis zum entsprechenden Wert für X addiert.

Wie berechnet man den Erwartungswert einer Zufallsvariablen?
#448
Den Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X erhält man, indem man jeden Wert von X mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit multipliziert und daraus die Summe bildet.
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit P(X=r) in einer Bernoulli-Kette der Länge n?
#703

Bernoulli Formel:

Für eine Bernoulli-Kette der Länge n lässt sich die Wahrscheinlichkeit P(X=r), dass die Zufallsgröße X genau r Treffer (Trefferwahrscheinlichkeit p) hat mit der Bernoulli-Formel berechnen:

Bn,p = P(X=r) = (nr) · pr · (1 − p)n-r
Beispiel 1
Ein Würfel wird 5 Mal geworfen.
Wahrscheinlichkeit für genau vier Einser:
 
?%
Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Quadratzahlen:
 
?%
Beispiel 2
Wie oft muss ein Würfel mindestens geworfen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens eine 1 zu würfeln?
Wie unterscheidet man bei binomialverteilten Zufallsgrößen und welche Experimente folgen keiner Binomialverteilung?
#1151

Bei binomialverteilten Zufallsgrößen (Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\)) ist zwischen nicht kumuliert (\(P(X=k)\)) und kumuliert (\(P(X\le k)\)) zu unterscheiden.

Berechnung mit dem GTR

Gegeben: Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\).

Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer:

\[ B_{n,p}(k)=P(X=k)=\operatorname{binompdf}(n,p,k) \]

Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Treffer:

\[ F_{n,p}(k)=P(X\le k)=\operatorname{binomcdf}(n,p,k) \]

Hinweis: Bei vielen Experimenten (z. B. Ziehen mehrerer Kugeln auf einmal oder hintereinander ohne Zurücklegen) liegt keine Bernoulli-Kette vor; dann gelten andere Modelle/Formeln (z. B. hypergeometrische Verteilung).

Beispiel
Ein Basketballer wirft 30 Freiwürfe. Erfahrungsgemäß trifft er jeden Freiwurf mit einer Wahrscheinlichkeit von 85%. Gib einen Term an, mit dem man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet/berechne die Wahrscheinlichkeit dafür,
a) dass er genau 20 Freiwürfe trifft.
b) dass er höchstens 25 Freiwürfe trifft.
c) dass er mindestens 15 Freiwürfe trifft.
d) dass er zwischen 10 und 20 Freiwürfe trifft.
Welche Formeln gelten für den Erwartungswert und die Standardabweichung der Trefferzahl X in einer Bernoulli-Kette?
#710

In einer Bernoulli-Kette der Länge n und Treffer-Wahrscheinlichkeit p bezeichne die Zufallsgröße X die Trefferzahl. Dann gilt:

  • Erwartungswert μ(X) =n·p
  • Standardabweichung σ(X) = √ n·p·(1-p)
Beispiel
Eine Münze wird 200-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Wappen".
Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert innerhalb der 2σ-Umgebung annimmt:
P
 
μ
−
2σ
 
≤
 
X
 
≤
 
μ
+
2σ
 
≈
 
?%
Was sind Nullhypothese, Gegenhypothese, Testgröße, kritischer und nichtkritischer Bereich sowie rechtsseitiger und linksseitiger Test bei einem einseitigen Hypothesentest?
#1223
Bei einem einseitigen Hypothesentest sind folgende Begriffe von Bedeutung
  • H0: Nullhyothese; immer von der Art "p=", "p≤" oder "p≥" (mit Gleichheitszeichen)
  • H1: Gegenhypothese; immer von der Art "p<" oder "p>" (ohne Gleichheitszeichen)
  • Z: Testgröße, misst die Anzahl der Treffer in einer Stichprobe mit vorgegebener Länge
  • K: kritischer Bereich = Intervall, in dem Z liegen muss, damit Nullhypothese verworfen wird (Ablehnungsbereich der Nullhypothese)
  • K: nichtkritischer Bereich = Intervall, in dem Z liegen muss, damit Nullhypothese beibehalten wird (Annahmebereich der Nullhypothese)
  • rechtsseitiger bzw. linksseitger Test: hängt vom Ungleichheitszeichen der Gegenhypothese ab; bei "p>" liegt ein rechtsseitiger Test vor, da K in diesem Fall von der Art Z>k sein muss.
Was versteht man unter Fehlern erster und zweiter Art in der Statistik?
#510
  • Fehler erster Art (α´): Die Nullhypothese wird abgelehnt (Z ∈ K), obwohl sie richtig ist
  • Fehler zweiter Art (β´): Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt (Z ∈ K), obwohl sie falsch ist

Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten nennt man Risiko erster bzw. zweiter Art.

Beispiel
Bestimme die Fehler erster und zweiter Art (letzteren für p = 0,05):
n
=
30
H
0
:
p
 
≥
 
0,1
 
     
 
K
=
{2; 3;...; 30}
H
1
:
p
<
0,1
 
     
 
K
=
{0; 1}
Welche Bedingungen muss die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße erfüllen und wie berechnet man damit Wahrscheinlichkeiten?
#1301
Eine in einem Intervall I definierte Funktion f, aus der man Wahrscheinlichkeiten durch Integration bestimmen kann, nennt man Dichtefunktion. Sie muss die folgenden Bedingungen erfüllen:
  • f(x) ≥ 0 für alle x ∈ I (Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist nie negativ.)
  • Das Integral über f auf dem gesamten Intervall I besitzt den Wert 1. (Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist stets 100%.)
Für die zugehörige stetig verteilte Zufallsgröße X und r, s ∈ I ergibt sich die Wahrscheinlichkeit P(r ≤ X ≤ s) durch Integration über f von r bis s.
Beispiel
Die stetige Zufallsgröße X besitzt die Funktion f mit 
f
 
x
=
−
2
9
 
x
2
+
2
3
 
x
 für 
0
 
≤
 
x
 
≤
 
3
 als Dichtefunktion. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X mindestens den Wert 2 annimmt.
Wie nutzt man die kumulative Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsgröße zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und welche besonderen Eigenschaften hat sie?
#1487

Die kumulative Verteilungsfunktion \(\displaystyle \Phi\) einer normalverteilen Zufallsgröße besitzt unter anderem folgende Eigenschaften:

  • Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung folgt stets \(\displaystyle \Phi(\mu)=0{,}5\).
  • Wahrscheinlichkeiten der Form \(\displaystyle P(X\leq x)\) können als Funktionswert \(\displaystyle \Phi(x)\) am Graphen abgelesen werden.
  • Da die Normalverteilung eine stetige Verteilung ist, folgt \(\displaystyle P(X \leq x) = P(X < x)=\Phi(x)\).
Was ist eine normalverteilte Zufallsgröße X und wie bestimmt man die Wahrscheinlichkeit für Werte in einem Intervall [a; b]?
#1329
Eine Zufallsgröße X nennt man normalverteilt mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ, wenn ihre Dichtefunktion eine Gauß'sche Glockenfunktion φ mit den Parametern μ und σ ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Werte von X in einem Intervall [a; b] liegen, ist also das Integral über φ mit Untergrenze a und Obergrenze b, und kann mit dem Taschenrechner oder graphisch als Inhalt des entsprechenden Flächenstücks unter dem Graphen von φ ermittelt werden.
Beispiel 1
graphik
Die Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße X.
a) Ermittle 
P
 
−
2,5
 
≤
 
X
 
≤
 
0
.
b) Bestimme u so, dass gilt: 
P
 
X
 
≥
 
u
 
≈
 
0,1
.
Beispiel 2
Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit 
μ
=
30
 und 
σ
=
3
.
 Ermittle die folgenden Wahrscheinlichkeiten auf drei Dezimalen genau. Verwende bei a) den Taschenrechner und ermittle die restlichen Wahrscheinlichkeiten ohne Taschenrechner, aber mit Begründung:
a) 
P
 
25
 
≤
 
X
 
≤
 
35
b) 
P
 
X
 
∈
 
30;
 
35
c) 
P
 
X
=
33
d) 
P
 
X
 
≥
 
25
Wie helfen die Sigma-Regeln bei normalverteilten Zufallsgrößen und wie lauten sie?
#1333
Für eine normalverteilte Zufallsgröße X mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ sind oft Wahrscheinlichkeiten dafür von Interesse, dass X in einem um μ symmetrischen Intervall liegt. In diesem Fall helfen die so genannten Sigma-Regeln:
  • Intervall gegeben, Wahrscheinlichkeit gesucht
P(X ∈ [μ - σ; μ + σ]) ≈ 0,683
P(X ∈ [μ - 2σ; μ + 2σ]) ≈ 0,954
P(X ∈ [μ - 3σ; μ + 3σ]) ≈ 0,997
  • Wahrscheinlichkeit gegeben, Intervall gesucht
P(X ∈ [μ - 1,64σ; μ + 1,64σ]) ≈ 0,90
P(X ∈ [μ - 1,96σ; μ + 1,96σ]) ≈ 0,950
P(X ∈ [μ - 2,58σ; μ + 2,58σ]) ≈ 0,990