1.5 Symmetrie von Graphen, Matheübungen

Funktionen und ihre Graphen - G8 Lehrwerk Lambacher Schweizer - 36 Aufgaben in 6 Levels

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  • Beispiel zum Level
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Stoff zum Level

    Ganzrationale Funktion:

    \(f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\) mit \(a_n\neq0\)

    Der Grad ist die höchste auftretende Potenz, \(a_n\) heißt Leitkoeffizient

    Nullstellen und Vielfachheit:

    In der Form \(f(x)=a\,(x-x_1)^{k_1}\cdot\ldots\cdot(x-x_m)^{k_m}\)

    \(x_i\) sind Nullstellen, \(k_i\) sind die Vielfachheiten

    Die Summe der Vielfachheiten aller reellen Nullstellen ist höchstens so groß wie der Grad. 

    ungerade Vielfachheit: Vorzeichenwechsel

    gerade Vielfachheit: Berührung der \(x\)-Achse

    Verhalten im Unendlichen:

    Entscheidend sind nur Grad und Leitkoeffizient:

    \(n\) gerade: beide Enden des Graphen zeigen in die gleiche Richtung

    \(n\) ungerade: beide Enden des Graphen zeigen in entgegengesetzte Richtungen

    \(a_n>0\): Graph verläuft nach rechts oben 

    \(a_n<0\): Graph verläuft nach rechts unten

    Symmetrie:

    achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse: \(f(-x)=f(x)\), nur gerade Potenzen

    punktsymmetrisch zum Ursprung: \(f(-x)=-f(x)\), nur ungerade Potenzen

    Punktsymmetrie bedeutet stets eine Nullstelle bei \(0\)

  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 6
  • Gib jeweils eine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion an, die alle genannten Bedingungen erfüllt. Die Darstellungsform ist frei wählbar. Ist von "genau" den angegebenen Nullstellen die Rede, so darf die Funktion keine weiteren besitzen. Andernfalls sind zusätzliche Nullstellen erlaubt. Es kann mehrere richtige Lösungen geben.
  • Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.

    • Der Grad der Funktion ist \(4.\) Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und hat genau die Nullstellen \(x_1=-1\) und \(x_2=1.\)

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Lösung
  • Achtung
    Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt die Aufgabe als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diesen Level verschlechtert sich. Tipp: Schau dir vor dem Anzeigen der Lösung die Beispiel-Aufgabe zu diesem Aufgabentyp an.
Stoff zum Thema
Wie erkennt man Achsen- und Punktsymmetrie bei Funktionen, insbesondere bei ganzrationalen Funktionen?
#758
  • Achsensymmetrie zur y-Achse:
Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
f(x) = f(-x)

  • Punktsymmetrie zum Ursprung:
Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
-f(x) = f(-x)

  • Spezialfall: ganzrationale Funktionen

f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur gerade Exponenten auftauchen.
Also gilt:
Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

-f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur ungerade Exponenten auftauchen.
Also gilt:
Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

  • Hinweis:
Die einzige Funktion deren Graph sowohl achsensymmetrisch zur y-Achse also auch punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist f(x)=0.
Beispiel 1
Untersuche, ob der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
a) 
f
 
x
=
x
−
2
·
x
+
2
b) 
f
 
x
=
−
0,4x
3
+
2x
c) 
f
 
x
=
0,1x
−
0,3
·
0,5
−
2x
Beispiel 2
Untersuche, ob der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
a) 
f
 
x
=
5x
2
x
2
+
2
b) 
f
 
x
=
5x
2
x
3
+
2x
c) 
f
 
x
=
5x
2
x
3
+
2
Welche Eigenschaften hat der Graph einer ganzrationalen Funktion mit nur ungeraden Exponenten und einem negativen Leitkoeffizienten?
#1524

Ganzrationale Funktion:

\(f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\) mit \(a_n\neq0\)

Der Grad ist die höchste auftretende Potenz, \(a_n\) heißt Leitkoeffizient

Nullstellen und Vielfachheit:

In der Form \(f(x)=a\,(x-x_1)^{k_1}\cdot\ldots\cdot(x-x_m)^{k_m}\)

\(x_i\) sind Nullstellen, \(k_i\) sind die Vielfachheiten

Die Summe der Vielfachheiten aller reellen Nullstellen ist höchstens so groß wie der Grad. 

ungerade Vielfachheit: Vorzeichenwechsel

gerade Vielfachheit: Berührung der \(x\)-Achse

Verhalten im Unendlichen:

Entscheidend sind nur Grad und Leitkoeffizient:

\(n\) gerade: beide Enden des Graphen zeigen in die gleiche Richtung

\(n\) ungerade: beide Enden des Graphen zeigen in entgegengesetzte Richtungen

\(a_n>0\): Graph verläuft nach rechts oben 

\(a_n<0\): Graph verläuft nach rechts unten

Symmetrie:

achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse: \(f(-x)=f(x)\), nur gerade Potenzen

punktsymmetrisch zum Ursprung: \(f(-x)=-f(x)\), nur ungerade Potenzen

Punktsymmetrie bedeutet stets eine Nullstelle bei \(0\)

Beispiel

Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und hat bei \(x=3\) eine doppelte Nullstelle. Er verläuft von links unten nach rechts unten.

Gib eine passende Funktionsgleichung an.