Terme - Faktorisieren mit dem Klammeransatz, Matheübungen

Trinome faktorisieren mit dem Klammeransatz. - Lehrplan für 8.-9. Jgst - 36 Aufgaben in 8 Levels

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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Suche zwei Zahlen, so dass (x+a)*(x+b) = gegebenes Trinom ist
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Bei vielen Trinomen (Summe mit drei Termen) hilft der Zweiklammer-Ansatz beim Faktorisieren. Dabei hilft meistens geschicktes Ausprobieren.
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 2
  • Verwandle das Trinom in ein Produkt mit dem Zweiklammer-Ansatz!
    • x
    2
    −
    6x
    −
    16
    =
    x
    +
    ·
    x
    +
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Stoff zum Thema
Bei vielen Trinomen (Summe mit drei Termen) hilft der Zweiklammer-Ansatz beim Faktorisieren. Dabei hilft meistens geschicktes Ausprobieren.
Beispiel 1
Trinom mit lauter positiven Koeffizienten
Um das Trinom
 
x
2
+
8x
+
15
 
zu faktorisieren, sucht man zwei Zahlen a und b, so dass
 
x
+
a
·
x
+
b
=
x
2
+
8x
+
15
 
ergibt.
 
Wenn man diese beiden Klammern - vorerst noch mit a und b - ausmultipliziert erhält man:
 
x
+
a
·
x
+
b
=
x
2
+
ax
+
bx
+
a
·
b
Fasst man die Terme mit x noch zusammen, erhält man:
 
x
2
+
ax
+
bx
+
a
·
b
=
x
2
+
a
+
b
·
x
+
a
·
b
Nun vergleicht man die beiden Trinome:
 
x
2
+
8
 
x
+
15
=
x
2
+
a
+
b
 
x
+
a
·
b
Offenbar muss für die Zahlen a und b folgendes gelten:
 
a
·
b
=
15
a
+
b
=
8
Eine Möglichkeit, die beiden Zahlen zu finden, ist, eine Liste von Zahlen zu machen, die mulitpliziert 15 ergeben. Dies sind:
 
1
−
15
3
−
5
Aus dieser Liste sucht man sich nun jenes Paar, das addiert 8 ergbit. So findet man das Paar a=3 und b=5.Das ergibt die Lösung:
 
x
2
+
8x
+
15
=
x
+
3
·
x
+
5
Beispiel 2
Trinom mit einer negativen Zahl am Schluss
Um das Trinom
 
x
2
+
x
−
12
 
zu faktorisieren, sucht man zwei Zahlen a und b, so dass
 
x
+
a
·
x
+
b
=
x
2
+
x
−
12
 
ergibt.
 
Wenn man diese beiden Klammern - vorerst noch mit a und b - ausmultipliziert erhält man:
 
x
+
a
·
x
+
b
=
x
2
+
ax
+
bx
+
a
·
b
Fasst man die Terme mit x noch zusammen, erhält man:
 
x
2
+
ax
+
bx
+
a
·
b
=
x
2
+
a
+
b
·
x
+
a
·
b
Nun vergleicht man die beiden Trinome:
 
x
2
+
1
 
x
 
−
12
=
x
2
+
a
+
b
 
x
+
a
·
b
Offenbar muss für die Zahlen a und b folgendes gelten:
 
a
·
b
=
−
12
a
+
b
=
1
Eine Möglichkeit, die beiden Zahlen zu finden, ist, eine Liste von Zahlen zu machen, die multipliziert -12 ergeben. Dies sind:
 
−
1
 
  
 
12
−
2
 
  
 
6
−
3
 
  
 
4
−
4
 
  
 
3
−
6
 
  
 
2
−
12
 
  
 
1
Aus dieser Liste sucht man sich nun jenes Paar, das addiert 1 ergbit. So findet man das Paar a=-3 und b=4. Das ergibt die Lösung:
 
x
2
+
x
−
12
=
x
−
3
·
x
+
4
Beispiel 3
Trinom mit negativem Koeffizient bei x und positiver Zahl am Schluss
Um das Trinom
 
x
2
−
7x
+
12
 
zu faktorisieren, sucht man zwei Zahlen a und b, so dass
 
x
+
a
·
x
+
b
=
x
2
−
7x
+
12
 
ergibt.
 
Wenn man diese beiden Klammern - vorerst noch mit a und b - ausmultipliziert erhält man:
 
x
+
a
·
x
+
b
=
x
2
+
ax
+
bx
+
a
·
b
Fasst man die Terme mit x noch zusammen, erhält man:
 
x
2
+
ax
+
bx
+
a
·
b
=
x
2
+
a
+
b
·
x
+
a
·
b
Nun vergleicht man die beiden Trinome:
 
x
2
+
−
7
 
x
 
+
12
=
x
2
+
a
+
b
 
x
+
a
·
b
Offenbar muss für die Zahlen a und b folgendes gelten:
 
a
·
b
=
12
a
+
b
=
−
7
Eine Möglichkeit, die beiden Zahlen zu finden, ist, eine Liste von Zahlen zu machen, die multipliziert 12 ergeben.
 
Da sie addiert eine negative Zahl ergeben sollten, müssen
 
beide Zahlen negativ
 
sein. Man erhält folgende Liste:
 
−
1
 
  
 
−
12
−
2
 
  
 
−
6
−
3
 
  
 
−
4
Aus dieser Liste sucht man sich nun jenes Paar, das addiert 1 ergbit. So findet man das Paar a=-3 und b=4. Das ergibt die Lösung:
 
x
2
+
x
−
12
=
x
−
3
·
x
+
4
Beispiel 4
Trinom mit einem Koeffizienten bei x
2
Will man das Trinom
 
3x
2
−
9x
+
6
 
faktorisieren, stellt man fest, dass der Klammeransatz mit
 
x
+
a
·
x
+
b
 
nicht funktioniert, weil vor dem
 
x
2
 
eine Zahl steht.
 
Es braucht also noch eine Idee! In diesem Fall reicht es zu sehen, dass alle drei Koeffizienten durch 3 teilbar sind. Man kann 3 ausklammern und erhält :
 
3x
2
−
9x
+
6
=
3
 
x
2
−
3x
+
2
 
In der Klammer lässt sich nun der Zweiklammeransatz umsetzen. Man sucht zwei Zahlen a und b, so dass
 
x
+
a
·
x
+
b
=
x
2
−
3x
+
2
 
ergibt.
 
Wenn man diese beiden Klammern - vorerst noch mit a und b - ausmultiplizert erhält man:
 
x
+
a
·
x
+
b
=
x
2
+
ax
+
bx
+
a
·
b
Fasst man die Terme mit x noch zusammen, erhält man:
 
x
2
+
ax
+
bx
+
a
·
b
=
x
2
+
a
+
b
·
x
+
a
·
b
Nun vergleicht man die beiden Trinome:
 
x
2
+
−
3
 
x
 
+
2
=
x
2
+
a
+
b
 
x
+
a
·
b
Offenbar muss für die Zahlen a und b folgendes gelten:
 
a
·
b
=
2
a
+
b
=
−
3
Da das Produkt
 
a
·
b
 
positiv ist und die Summe
 
a
+
b
 
negativ, müssen a und b beide negativ sein. Die einzige Mölgichkeit, mit zwei negativen Zahlen das Produkt 2 zu erhalten ist
 
a
=
−
1, b
=
−
2
 
Damit erhält man das Resultat:
 
3x
2
−
9x
+
6
=
3
 
x
−
2
·
x
−
1
Beispiel 5
Trinom mit einem Koeffizienten bei x
2
−
Ausklammern geht nicht
Will man das Trinom
 
6x
2
+
7x
+
2
 
faktorisieren, stellt man fest, dass der Klammeransatz mit
 
x
+
a
·
x
+
b
 
nicht funktioniert, weil vor dem
 
x
2
 
eine Zahl steht.
 
Der Ansatz muss erweitert werden zu
 
ax
+
b
·
cx
+
d
 
.
 
 
Man sucht also 4 Zahlen, so dass beim Ausmultiplizieren das gegebene Trinom entsteht. Multipliziert man aus, erhält man:
 
ax
+
b
·
cx
+
d
=
acx
2
+
adx
+
bcx
+
bd
 
Fasst man die x-Terme noch zusammen erhält man:
 
acx
2
+
adx
+
bcx
+
bd
=
acx
2
+
(ad+bc)x
+
bd
 
Mit den geeigneten 4 Zahlen sollte dies dem gegebenen Trinom entsprechen. Es sollte also gelten:
 
6
 
x
2
+
7
 
x
+
2
 
=
ac
 
x
2
+
ad
+
bc
 
x
+
bd
 
 
Offenbar sollte
 
a
·
c
=
6
 
und
 
b
·
d
=
2
 
sein. Am besten macht man zwei Listen für a,c und für b,d, so dass
 
a
·
c
=
6
 
und
 
b
·
d
=
2
 
a
c
1
6
2
3
3
2
6
1
 
 
b
d
1
2
2
1
 
Die richtige Kombination findet man nun mit ausprobieren. Denn es muss ja auch noch gelten:
 
ad
+
bc
=
7
 
Die einzige Kombination, die diese Bedingung erfüllt ist: a=2, b=1, c=3, d=2
 
 
Die Lösung ist also:
 
6x
2
+
7x
+
2
=
2x
+
1
·
3x
+
2