Terme & Gleichungen, Matheübungen

- Basisaufgaben zur Wiederholung G9 - 112 Aufgaben in 18 Levels

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    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
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    Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten:

    1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
    2. (a − b)² = a² − 2ab + b²
    3. (a + b) (a − b) = a² − b²
    In dieser Richtung (links mit Klammer, rechts ohne) dienen die Formeln dazu, Klammern schneller auszumultiplizieren. Ohne Kenntnis der BF müsste man die Klammern auf herkömmlich Art ("jeder mit jedem") ausmultiplizieren.
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 9 in Level 15
  • Multipliziere mit Hilfe der binomischen Formeln aus. Variablenpotenzen sind in der Form "a^n" einzugeben. [Zahlenpotenzen sind auszurechnen.]
    • 7
    +
    a
    2
    =
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Stoff zum Thema (+Video)
Was zeigt eine Wertetabelle bei einem Term T(x)?
#960
Für jeden Term T(x) lässt sich eine Wertetabelle angeben. Aus dieser geht hervor, welcher x-Wert zu welchem Termwert gehört. Die Termwerte (unten) ergeben sich durch Einsetzen der jeweiligen x-Werte (oben) in den Term und Ausrechnen.
Beispiel
Drücke als Term aus und stelle eine dazu passende Wertetabelle auf:
"Das Dreifache der Differenz aus dem fünffachen einer Zahl und 9".
Wie vereinfacht man ein Produkt aus Zahlen und einer Variablen?
#1045
Ein Produkt von Zahlen und einer Variablen kann man vereinfachen, indem man die Zahlen multipliziert und die Variable beibehält.
Beispiel
Vereinfache den Term.
8
·
x
·
−
4
=
?
Wie addiert oder subtrahiert man gleichartige Terme und gib Beispiele an.
#420
Gleichartige Terme wie z.B. 3x und -7x oder ab und 0,5ab werden addiert/subtrahiert, indem man ihre Vorzahlen addiert/subtrahiert und die (in beiden Termen vorkommenden) Variablen beibehält.
Beispiel 1
Vereinfache.
4
3
 
x
+
3y
−
1
3
 
x
−
2
3
+
0,5y
+
1
Beispiel 2
3c
−
2cd
+
3c
2
+
0,5cd
−
c
=
?
Wie vereinfacht man Terme in der Mathematik?
#1046
Terme vereinfachen:
  • Bei Additionen und Subtraktionen können gleichartige Variablen bzw. Zahlen zusammengefasst werden.

  • Ein Produkt von Zahlen und einer Variablen kann man vereinfachen, indem man die Zahlen multipliziert und die Variable beibehält
Beispiel
6
·
x
·
−
2
−
8
+
4x
−
10
=
?
Wie löst man eine Klammer auf, wenn davor ein Plus- oder Minuszeichen steht?
#110
Regel für das Auflösen von Klammern:
  • Steht vor der Klammer ein Plus, so bleiben die Vorzeichen in der Klammer unverändert.
  • Steht vor der Klammer ein Minus, so drehen sich die Vorzeichen in der Klammer um.
Wie kann ein Term wie a · a³ : a² vereinfacht geschrieben werden?
#117
Ein Produkt von Variablen(potenzen) mit derselben Variablen lässt sich zu einer Potenz zusammenfassen.
Beispiel
Fasse zusammen:
a
·
a
2
·
a
3
3
=
▇
Wie löst man eine potenzierte Klammer auf, wenn in der Klammer ein Produkt steht?
#1204
Wird ein Produkt in Klammern potenziert, so ist beim Auflösen der Klammer darauf zu achten, dass jeder Faktor zu potenzieren ist (drittes Potenzgesetz rückwärts).
Beispiel
2
3
 
a
2
 
b
3
=
?
Was bedeutet Ausklammern und welches Rechengesetz wird dabei angewendet?
#253
Ausklammern heißt, dass man Terme wie

a · b ± a · c

a : c ± b : c

vereinfacht zu

a · (b ± c)

(a ± b) : c

Das Gesetz hinter dieser Rechneregel heißt Distributivgesetz.
Was besagt das Distributivgesetz in der Mathematik?
#119
Distributivgesetz:

a · (b + c ) = a · b + a · c    ("Klammer ausmultiplizieren")

(a + b ) : c = a : c + b : c

Statt + kann man auch − einsetzen, d.h. das Distributivgesetz gilt für Summen wie auch für Differenzen, die mit einer Zahl multipliziert oder durch eine Zahl dividiert werden.

Beispiel
Multipliziere aus und gib gekürzt an:
2
9
·
3
5
−
6c
=
?
Was bedeutet Ausklammern und wie funktioniert es?
#122
Enthält jeder einzelne Summand einer Summe denselben Faktor, so kann man diesen ausklammern, also als Faktor vor die Summenklammer schreiben (Distributivgesetz "rückwärts"):

a · b + a · c = a · (b + c)

(Ebenso mit − statt +)

Beispiel
Gib größtmögliche Zahlen/Potenzen an, die ausgeklammert werden können:
−
18
 
x
2
y
3
z
+
54
 
x
 
y
2
z
+
27
 
x
4
y
5
Wie löst man zwei eingeklammerte Terme auf, die jeweils nur Plusrechnungen enthalten und miteinander multipliziert werden?
#123
Beim Multiplizieren zweier Summen muss jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert werden (ergibt sich aus dem Distributivgesetz):

(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd

Was sind die drei binomischen Formeln und wofür werden sie verwendet?
#264

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten:

  1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
  2. (a − b)² = a² − 2ab + b²
  3. (a + b) (a − b) = a² − b²
In dieser Richtung (links mit Klammer, rechts ohne) dienen die Formeln dazu, Klammern schneller auszumultiplizieren. Ohne Kenntnis der BF müsste man die Klammern auf herkömmlich Art ("jeder mit jedem") ausmultiplizieren.
Beispiel 1
Multipliziere.
a
+
1
2
=
?
3
−
b
2
=
?
11
+
c
·
11
−
c
=
?
Beispiel 2
Multipliziere.
3
7
+
y
2
=
?
1,5x
−
2
3
2
=
?
q
2
+
1
6
·
q
2
−
1
6
=
?
Wie löst man Gleichungen der Form ax + b = cx + d?
#393
Bei Gleichungen der Form

ax + b = cx + d

kommst du weiter, in dem du z.B. "cx nach links" und "b nach rechts" bringst:

ax − cx = d − b

Dadurch sind die x-Vielfachen auf der einen Seite, die andere Seite ist x-frei.
Wie löst man lineare Gleichungen der Form a·x + b = c und a·x - b = c?
#636
Bei Gleichungen der Form a·x + b = c muss man zuerst b von c subtrahieren und danach dieses Ergebnis durch a dividieren.
Bei Gleichungen der Form a·x − b = c muss man zuerst b zu c addieren und danach dieses Ergebnis durch a dividieren.
Beispiel
Löse die Gleichung durch Rückwärtsrechnen:
7
·
x
+
12
=
26