Wie wird die Intervallschreibweise verwendet und was bedeutet die Klammersetzung? Wie wird z.B. "x < 1" in Intervallschreibweise notiert?
#259
Ein Intervall wird durch zwei Grenzen festgelegt, wobei die untere Grenze links, die obere Grenze rechts steht. Z.B. bezeichnet [2;5[ die Menge aller Zahlen von 2 bis 5, wobei 2 eingeschlossen ist (da eingeklammert) und 5 nicht mehr dazu gehört (da ausgeklammert).
Links und/oder rechts kann auch ∞ stehen, das heißt dann, dass es keine untere bzw. keine obere Grenze gibt. Z.B. bezeichnet ]-3; ∞[ die Menge aller Zahlen, die größer sind als -3. Beachte, dass -∞ und ∞ immer ausgeschlossen werden.
Weitere Beispiele:
]-7;5] heißt übersetzt -7 < x ≤ 5
]-∞;1[ heißt übersetzt x < 1
[9;∞[ heißt übersetzt x ≥ 9
Was muss man beim Kürzen von Bruchtermen beachten?
#280
Ein Bruchterm lässt sich kürzen, wenn Zähler und Nenner (als Produkt dargestellt) in einem Faktor übereinstimmen. Das setzt, wie schon gesagt, Produkte auf beiden Seiten des Bruchstrichs voraus. Aus Summen oder Differenzen heraus darf nicht gekürzt werden!
Mit welchen Faktoren kann jeweils gekürzt werden?
Was sind die fünf grundlegenden Potenzgesetze?
#539
Potenzgesetze:
- Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.
ap · aq = ap + q
- Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
ap : aq = ap − q
- Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
aq · bq = (a · b)q
- Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.
aq : bq = (a : b)q
- Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
(ap)q = ap·q
Forme, falls möglich, in EINE Wurzel um, in der nur noch positive Exponenten auftreten.
Wie dividiert man durch einen Bruch?
#47
Durch einen Bruch zu teilen heißt, mit dessen Kehrbruch zu multiplizieren.
Wie vereinfacht man ein Produkt aus Zahlen und einer Variablen?
#1045
Ein Produkt von Zahlen und einer Variablen kann man vereinfachen, indem man die Zahlen multipliziert und die Variable beibehält.
Wie kann ein Term wie a · a³ : a² vereinfacht geschrieben werden?
#117
Ein Produkt von Variablen(potenzen) mit derselben Variablen lässt sich zu einer Potenz zusammenfassen.
Was bedeutet eine Potenz mit negativer Hochzahl, z.B. \(2^{-3}\)?
#1406
Ein negativer Exponent bedeutet, dass man den Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten bildet:
\[
a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}
\qquad (a \ne 0)
\]
Der Exponent wird dabei positiv:
\[
a^{-1} = \frac{1}{a}, \quad
a^{-2} = \frac{1}{a^2}, \quad
a^{-3} = \frac{1}{a^3}, \dots
\]
Einfaches Zahlenbeispiel:
\[
4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}
\]
Wie kann man \( \sqrt{a^2} \) vereinfachen, wenn a auch negativ sein könnte?
#229
Beachte beim Rechnen mit Variablen, dass (weil a auch negativ sein könnte)
√(a²) = | a |
Der Betragstrich ist nicht nötig, wenn a < 0 ausgeschlossen werden kann. Ist hingegen bekannt, dass a negativ ist, kann man statt des Betrags auch konkret schreiben
√(a²) = −a
Ob eine Variable unter der Wurzel positiv oder negativ ist, erschließt sich oft indirekt aus der Aufgabenstellung.
Welche Werte können für x eingesetzt werden und wie lautet der vereinfachte Term?
Wie löst man eine potenzierte Klammer auf, wenn in der Klammer ein Produkt steht?
#1204
Wird ein Produkt in Klammern potenziert, so ist beim Auflösen der Klammer darauf zu achten, dass jeder Faktor zu potenzieren ist (drittes Potenzgesetz rückwärts).
Wie addiert oder subtrahiert man gleichartige Terme und gib Beispiele an.
#420
Gleichartige Terme wie z.B. 3x und -7x oder ab und 0,5ab werden addiert/subtrahiert, indem man ihre Vorzahlen addiert/subtrahiert und die (in beiden Termen vorkommenden) Variablen beibehält.
Wie vereinfacht man Terme in der Mathematik?
#1046
Terme vereinfachen:
- Bei Additionen und Subtraktionen können gleichartige Variablen bzw. Zahlen zusammengefasst werden.
- Ein Produkt von Zahlen und einer Variablen kann man vereinfachen, indem man die Zahlen multipliziert und die Variable beibehält
Wie löst man eine Klammer auf, wenn davor ein Plus- oder Minuszeichen steht?
#110
Regel für das Auflösen von Klammern:
- Steht vor der Klammer ein Plus, so bleiben die Vorzeichen in der Klammer unverändert.
- Steht vor der Klammer ein Minus, so drehen sich die Vorzeichen in der Klammer um.
Was besagt das Distributivgesetz in der Mathematik?
#119
Distributivgesetz:
a · (b + c ) = a · b + a · c ("Klammer ausmultiplizieren")
(a + b ) : c = a : c + b : c
Statt + kann man auch − einsetzen, d.h. das Distributivgesetz gilt für Summen wie auch für Differenzen, die mit einer Zahl multipliziert oder durch eine Zahl dividiert werden.
Multipliziere aus und gib gekürzt an:
Was bedeutet Ausklammern und wie funktioniert es?
#122
Enthält jeder einzelne Summand einer Summe denselben Faktor, so kann man diesen
ausklammern, also als Faktor vor die Summenklammer schreiben (Distributivgesetz "rückwärts"):
a · b + a · c = a · (b + c)
(Ebenso mit − statt +)
Gib größtmögliche Zahlen/Potenzen an, die ausgeklammert werden können:
Wie löst man zwei eingeklammerte Terme auf, die jeweils nur Plusrechnungen enthalten und miteinander multipliziert werden?
#123
Beim Multiplizieren zweier Summen muss jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert werden (ergibt sich aus dem Distributivgesetz):
(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd
Was sind die drei binomischen Formeln und wofür werden sie verwendet?
#264
Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten:
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a + b) (a − b) = a² − b²
In dieser Richtung (links mit Klammer, rechts ohne) dienen die Formeln dazu, Klammern schneller auszumultiplizieren. Ohne Kenntnis der BF müsste man die Klammern auf herkömmlich Art ("jeder mit jedem") ausmultiplizieren.
Wie leitet man die allgemeine Form einer Parabelgleichung aus der Scheitelpunktform ab?
#911
Von der Scheitelpunktform
y = a⋅(x − xS)2 + yS
kommt man durch ausquadrieren bzw. dem Anwenden der binomischen Formeln zur allgemeinen Form:
y = a⋅x² + bx + c
Bringe in die allgemeine Form und gib dann die Parameter a, b und c an:
Wie löst man Gleichungen der Form ax + b = cx + d?
#393
Bei Gleichungen der Form
ax + b = cx + d
kommst du weiter, in dem du z.B. "cx nach links" und "b nach rechts" bringst:
ax − cx = d − b
Dadurch sind die x-Vielfachen auf der einen Seite, die andere Seite ist x-frei.
Wie löst man lineare Gleichungen der Form a·x + b = c und a·x - b = c?
#636
Bei Gleichungen der Form a·x + b = c muss man zuerst b von c subtrahieren und danach dieses Ergebnis durch a dividieren.
Bei Gleichungen der Form a·x − b = c muss man zuerst b zu c addieren und danach dieses Ergebnis durch a dividieren.
Löse die Gleichung durch Rückwärtsrechnen:
Wie löst man Bruchgleichungen der Form a / b = c / d am einfachsten?
#1127
Bruchgleichungen der Art a / b = c / d löst man am einfachsten durch Überkreuzmultiplizieren: man multipliziert dabei den linken Zähler mit dem rechten Nenner und den rechten Zähler mit dem linken Nenner und setzt beide Produkte gleich.
Was ist beim Lösen von Ungleichungen im Vergleich zu Gleichungen zu beachten?
#157
Beim systematischen Lösen von Ungleichungen geht man ähnlich vor wie beim Lösen von Gleichungen. Beachte aber, dass sich das Ungleichheitszeichen umdreht bei:
- Multiplikation mit einer negativen Zahl
- Division durch eine negative Zahl
Wie macht man eine Bruchgleichung nennerfrei und was sollte man beachten?
#222
Ein Zwischenziel beim Lösen von Bruchgleichungen besteht darin, die Gleichung nennerfrei zu machen. Das gelingt, auch bei Bruchgleichungen mit mehreren Summanden, indem man beide Seiten mit dem Produkt aller auftretenden Nennerterme bzw. mit ihrem kleinsten gemeinsamen Vielfachen ("Hauptnenner") multipliziert.
Wie ist eine lineare Gleichung mit zwei Variablen definiert und welche Lösungen hat sie?
#875
Lineare Gleichungen mit zwei Variablen
Lineare Gleichungen mit zwei Variablen lassen sich zum Beispiel in folgender Form schreiben:
- ax + by = c ("Normalform" einer linearen Gleichung mit zwei Variablen)
- y = mx + b (nach y aufgelöste Gleichung)
Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen hat immer mehrere Lösungen.
- Die Lösungen sind Wertepaare (x|y), d.h. Einsetzen des Wertepaars (x|y) führt zu einer wahren Aussage.
- Alle Lösungen (Wertepaare) der Gleichung liegen auf einer Geraden. Löst man die Gleichung nach y auf, so beschreibt die Gleichung die Gerade, auf der alle Lösung-Paare liegen.
Welche drei Lösungsverfahren gibt es für Gleichungssysteme und was ist ihr Ziel?
#731
Gleichungssysteme lassen sich z.B. mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens, Gleichsetzungsverfahrens oder des Additionsverfahrens lösen. Alle Verfahren laufen darauf hinaus, Gleichungen mit jeweils nur einer Unbekannten zu erhalten, nach der man dann auflösen kann.
Welche Verfahren gibt es zum Lösen von Gleichungssystemen und was ist ihr Ziel?
#365
Gleichungssysteme lassen sich z.B. mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens oder des Additionsverfahrens lösen. Beide Verfahren laufen darauf hinaus, Gleichungen mit jeweils nur einer Unbekannten zu erhalten, nach der man dann auflösen kann.
Löse mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens:
I: 2x + 3y = 5
II: 3y − x = 0,5
Löse mit Hilfe des Additionsverfahrens:
I: 2x + 3y = 5
II: 3y − x = 0,5
Wie stellt man eine Formel um, sodass eine Variable allein steht?
#1518
Die Variable muss allein stehen. Gliedere den Term und mache die Rechenoperationen von außen nach innen rückgängig:
Plus ↔ Minus
Mal ↔ Geteilt
Stelle die Formel \(x= a\cdot b + c\) nach \(a\) um.
Was ist die Mitternachtsformel und wie bestimmt man die Anzahl der Lösungen?
#243
Die Lösungen der quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. Mitternachtsformel (MNF) bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:
D = b² − 4ac
Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):
x1,2 = (−b ± √D) : 2a
Welche zwei Spezialfälle quadratischer Gleichungen ermöglichen eine Lösung ohne die allgemeine Lösungsformel und wie löst man diese?
#242
Quadratische Gleichungen können leicht gelöst werden, wenn
- x nur im Quadrat vorkommt (z.B. -2x² + 3 = 2)
→ nach x² auflösen, zuletzt Wurzel ziehen; beachte "±" !
- keine (additiven) Konstanten auftreten (z.B. -2x² = 3x)
→ alle x-Terme auf eine Seite und x ausklammern
Löse jeweils so einfach wie möglich (ohne Lösungsformel):
Was ist bei einer quadratischen Gleichung mit einem Parameter zu beachten?
#1318
In einer quadratischen Gleichung mit x als gesuchte Variabe kann eine weitere Variable (=Parameter) k vorkommen. Abhängig von k kann es zwei, eine oder keine Lösung für x geben. Wenn es mehrere Lösungen gibt, so sind diese abhängig von k.
Ermittle, für welche Werte von k es zwei/eine/keine Lösung(en) gibt. Gib, falls vorhanden, die Lösung(en) in Abhängigkeit von k an:
Wie viele Lösungen hat die Gleichung x^n=a (n ∈ N) in Abhängigkeit von a und n?
#880
Die Gleichung x
n=a (n ∈
N)
- hat KEINE Lösung, wenn n eine gerade Zahl ist und a<0.
- hat GENAU ZWEI Lösungen, wenn n eine gerade Zahl und a>0, nämlich die n-te Wurzel von a als auch deren Gegenzahl.
- hat GENAU EINE Lösung, wenn n eine ungerade Zahl und a>0, nämlich die n-te Wurzel von a.
- hat GENAU EINE Lösung, wenn n eine ungerade Zahl und a<0, nämlich die Gegenzahl der n-te Wurzel von |a|.
Wie berechnet man log_b a mit einem Taschenrechner, der nur eine 'log'-Taste hat?
#356
Um log
b a zu berechnen, gib in den Taschenrechner ein:
log a : log b
