Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck, Matheübungen

Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe von Sinus, Kosinus und Tangens; Steigungswinkel; Textaufgaben

Hilfe
  • Merke dir für immer folgendes Standardschema:
    • A, B und C gegen den Uhrzeigersinn
    • α zu A, β zu B und γ zu C
    • Punkt a und Seite A liegen einander gegenüber, ebenso b und B sowie c und C
  • Sei α ein Winkel < 90° im rechtwinkligen Dreieck. Mit "Gegenkathete" sei die Kathete gemeint, die α gegenüberliegt, mit "Ankathete" diejenige, die an α anliegt. Dann gelten folgende Zusammenhänge:
    • sin(α)= Gegenkathete / Hypotenuse
    • cos(α)= Ankathete / Hypotenuse
    • tan(α)= Gegenkathete / Ankathete
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Von einem Dreieck sind folgende Größen bekannt. Berechne die restlichen. Vorsicht: Verwende zum Weiterrechnen immer möglichst genaue Zwischenergebnisse (wie der TR sie ausgibt). Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 1. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • a
    =
    3 cm
    ;
    c
    =
    6,5 cm
    ;
    γ = 90°
    b ≈
     
     
    cm
    α ≈
     
     
    °
    β ≈
     
     
    °
    Tipp: fertige eine Skizze an und trage die gegebenen Größen ein. Ecken-, Seiten- und Winkelbezeichnungen in der Angabe entsprechen dem Standardschema, das jeder Fünftklässler kennt. Mehr dazu unter "Hilfe".
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Wie lauten die Formeln für Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck?
#454
Sei α ein Winkel < 90° im rechtwinkligen Dreieck. Mit "Gegenkathete" sei die Kathete gemeint, die α gegenüberliegt, mit "Ankathete" diejenige, die an α anliegt. Dann gelten folgende Zusammenhänge:
  • sin(α)= Gegenkathete / Hypotenuse
  • cos(α)= Ankathete / Hypotenuse
  • tan(α)= Gegenkathete / Ankathete
Beispiel 1
In einem rechtwinkligen Dreieck mit rechtem Winkel bei C ist bekannt: b = 10, c = 11. Berechne β.
Beispiel 2
Von einem rechtwinkligen Dreieck mit ∠C = 90° ist bekannt: a = 3 und β = 32°. Berechne die restlichen Seiten und Winkel.
Wie ist der Steigungswinkel einer Geraden definiert und wie hängt er mit der Steigung m zusammen?
#1130

Der Steigungswinkel 0°≤α<180° einer Geraden bezeichnet die Größe des Winkels, um den g gegenüber der x-Achse gedreht ist. Für 0°<α<90° handelt es sich um eine steigende, für 90°<α<180° um eine fallende Gerade.

Die Steigung m einer Geraden und ihr Steigungswinkel α stehen in folgendem Zusammenhang:

m=tan(α)

Beachte: wenn m gegeben und α gesucht ist, rechnet man zunächst tan-1(m) aus. Ist das Ergbnis positiv, hat man damit α ermittelt. Ist es negativ, addiert man noch 180° hinzu.

Beispiel
Eine Straße weist eine 39%ige Steigung auf. Berechne den Steigungswinkel.

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