Lineare Gleichungen und Ungleichungen - Aufgaben

Gleichungen und Ungleichungen, bei denen x-Terme addiert/subtrahiert und Summenterme multipliziert werden, das Quadrat sich jedoch immer wegkürzt - Lehrplan

Hilfe
  • Gehe bei umfangreicheren linearen Gleichungen nach folgendem Schema vor
    1. rechte und linke Seite so weit wie möglich vereinfachen
    2. durch Addition und Subtraktion die Gleichung in die Form ax = b bringen, d.h. zunächst alle x-Vielfachen auf die eine Seite, die andere Seite x-frei
    3. zuletzt durch a teilen
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Bestimme x und gib das Ergebnis als gekürzten Bruch an.

  • 2x
    −
    1
    3
    +
    3
    2
    5
     
    x
    =
    x
    −
    4
    x
    =
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    Notizfeld
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keine Berechtigung
Bei Gleichungen der Form

ax + b = cx + d

kommst du weiter, in dem du z.B. "cx nach links" und "b nach rechts" bringst:

ax − cx = d − b

Dadurch sind die x-Vielfachen auf der einen Seite, die andere Seite ist x-frei.
Gehe bei umfangreicheren linearen Gleichungen nach folgendem Schema vor
  1. rechte und linke Seite so weit wie möglich vereinfachen
  2. durch Addition und Subtraktion die Gleichung in die Form ax = b bringen, d.h. zunächst alle x-Vielfachen auf die eine Seite, die andere Seite x-frei
  3. zuletzt durch a teilen
Beispiel 1
Löse die Gleichung
16
−
3
·
2,5
−
3x
=
5
+
6x
Beispiel 2
Löse die Gleichung
2
3
−
1
6
 
x
:
4
=
1
3
·
2
+
x
−
5
+
1
4
 
x
Eine lineare Gleichung bzw. Ungleichung erkennt man daran, dass die auftretenden Summanden entweder Konstanten oder Vielfache von x sind, z.B.
  • 3x − 5 = 7x + 2 − 13x
Linear sind aber auch Gleichungen bzw. Ungleichungen, bei denen sich die auftretenden Terme so umformen lassen, dass die obere Bedingung erfüllt ist, z.B.
  • 3 (x − 5) + 2x = (7x − 2) · 13
  • x² − 2x +1 = x² + 3
    [durch Subtraktion von x² auf beiden Seiten verschwindet x²]
Nicht linear sind Gleichungen bzw. Ungleichungen, bei denen (evtl. nach Umformung) x² oder höhere Potenzen von x auftreten, z.B.
  • 3x² − 5 = 7x + 2 − 13x
  • 3x (x − 5) + 2x = (7x − 2) · 13
    [links entsteht beim Ausmultiplizieren 3x²]