Hilfe
  • Durch die Gleichung y = a⋅(x - xS)² + yS (a≠0) ist eine Parabel mit den Scheitelkoordinaten xS und yS gegeben, die gegenüber der Normalparabel mit der Gleichung y = x²
    • nach unten geöffnet ist, falls a negativ ist und
    • evtl. gestreckt (falls |a|>1) bzw. gestaucht (falls |a|<1) ist.

Kreuze richtig an

  • Die Parabel mit der Gleichung 
    y
    =
    9
    8
     
    x
    2
    2
    ist gegenüber der Normalparabel in y-Richtung gestreckt.
    ist nach oben geöffnet.
    besitzt einen Scheitel, der auf der x-Achse liegt.
    schneidet die y-Achse bei 
    y
    =
    2
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Quadratische Gleichungen
Lernvideo

Quadratische Gleichungen

Kanal: Mathegym

Was lässt sich über die Graphen der Funktionen folgender Gleichungen jeweils aussagen: y = x², y = (x + 2)², y = x² + 2, y = (x - 1)² + 3?
#230
  • y = x²:
    Normalparabel mit Scheitel S im Ursprung
  • y = (x + 2)²:
    Um 2 nach links (bei "x − 2" nach rechts) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(-2|0)
  • y = x² + 2:
    Um 2 nach oben (bei "x − 2" nach unten) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(0|2)
  • y = (x − 1)² + 3:
    Um 1 nach rechts und um 3 nach oben verschobene Normalparabel, also Scheitel S(1|3)
Diese Zusammenhänge gelten auch, wenn ein Faktor vor x² bzw. (...)² steht.
Beispiel
Gib die Koordinaten des Scheitels an.
y
=
3
·
x
+
5
2
Wie bestimmt man den Scheitel einer Parabel aus ihren Schnittpunkten mit der x-Achse?
#436
Weiß man, dass eine Parabel die x-Achse an den Stellen x1 und x2 schneidet, so kann man ihren Scheitel S leicht bestimmen:
  • xS = (x1 + x2) : 2
    Begründung: xS (also die x-Koordinate des Scheitels) liegt aus Symmetriegründen genau in der Mitte des Intervalls [x1 ; x2]
  • yS = p(xS)
    d.h. die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von xS in den Funktionsterm der Parabel
Beispiel
Die Parabel mit der Gleichung 
y
=
3x
2
2x
+
1
 schneidet die x-Achse an den Stellen 
x
1
=
1
 und 
x
2
=
1
3
. Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunkts.
Wie lautet die Gleichung einer Parabel in Scheitelform, wenn die allgemeine Form y = ax² + bx + c und der Scheitel S(s ; t) gegeben sind?
#432
Eine Parabel mit der Gleichung y = ax² + bx + c (Allgemeine Form) und dem Scheitel S(s ; t) lässt sich auch durch die Gleichung y = a (x − s)² + t (Scheitelpunktform) ausdrücken.
Wie beeinflussen die Parameter a, xS und yS die Form und Lage einer Parabel mit der Gleichung y = a⋅(x - xS)² + yS?
#913
Durch die Gleichung y = a⋅(x - xS)² + yS (a≠0) ist eine Parabel mit den Scheitelkoordinaten xS und yS gegeben, die gegenüber der Normalparabel mit der Gleichung y = x²
  • nach unten geöffnet ist, falls a negativ ist und
  • evtl. gestreckt (falls |a|>1) bzw. gestaucht (falls |a|<1) ist.
Beispiel
Abgebildet ist die Parabel mit der Gleichung
y
=
a
·
x
x
S
2
+
y
S
Bestimme a, 
x
S
 und 
y
S
.
graphik
Wie überprüft man, ob ein Punkt bezüglich eines Funktionsgraphen auf, über oder unter diesem liegt?
#234
Um zu überprüfen, ob ein Punkt (a|b) über, auf oder unter dem Graphen einer Funktion liegt, setzt man a in den Funktionsterm f(x) ein. Der Punkt liegt
  • über dem Graphen, wenn b > f(a)
  • auf dem Graphen, wenn b = f(a)
  • unter dem Graphen, wenn b < f(a)
Beispiel
f: 
y
=
1
2
 
x
2
x
+
8
;        
A
 
5
 
|
 
1
;   
B
 
2
 
|
 
9
;   
C
 
1
 
|
 
6,5
Gib jeweils an, ob der der Punkt über, auf oder unter der Parabel liegt.