4.3 Differenzierbarkeit - Aufgaben

Lokales und globales Differenzieren - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-11. Klasse)

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  • Wenn f an der Stelle x0 differenzierbar ist, so hat Gf dort eine eindeutige Tangente. Weist Gf also an einer Stelle einen Knick oder einen Sprung auf, so kann f dort nicht differenzierbar sein. Ist f an einer Stelle nicht stetig (Sprung), so kann f dort also auch nicht differenzierbar sein.

Entscheide aufgrund der graphischen Darstellung.

  • graphik
    f ist an der Stelle
    x
    =
    −
    2
       
    definiert
       
    stetig
       
    differenzierbar
    x
    =
    0
       
    definiert
       
    stetig
       
    differenzierbar
    x
    =
    2
       
    definiert
       
    stetig
       
    differenzierbar
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    Notizfeld
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Wenn f an der Stelle x0 differenzierbar ist, so hat Gf dort eine eindeutige Tangente. Weist Gf also an einer Stelle einen Knick oder einen Sprung auf, so kann f dort nicht differenzierbar sein. Ist f an einer Stelle nicht stetig (Sprung), so kann f dort also auch nicht differenzierbar sein.
Um einen Term | T(x) | betragsfrei zu schreiben, gehe wie folgt vor:
  1. Ermittle den Bereich, in dem der zugehörige Graph oberhalb oder auf der x-Achse liegt. Wenn kein Graph gegeben ist, löse dazu die Ungleichung T(x) ≥ 0.
  2. Im ermittelten Bereich kann | T(x) | durch T(x) ersetzt werden, d.h. die Betragsstriche können hier einfach weggelassen werden.
  3. Im restlichen Bereich muss anstelle der Betragsstriche ein Minuszeichen vor den umklammerten Term gesetzt werden.
Beispiel
Schreibe den Term 
4
−
9x
 betragsfrei.
Besitzt der Differenzenquotient

[ f(x) − f(a) ] / (x − a)

für x → a (x ≠ a) keinen Grenzwert, so ist f an der Stelle a nicht differenzierbar.

Das kann sich beispielsweise darin äußern, dass die einseitigen Grenzwerte nicht übereinstimmen. Der Graph weist an einer solchen Stelle einen Knick auf.

Beispiel
Ist f an der "Nahtstelle" differenzierbar? Bestimme dazu die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten.
f
 
x
=
x
·
2
−
x
graphik