Terme II - Vertiefung von einfachen Termumformungen - Matheaufgaben

Terme addieren und multiplizieren, komplexe Aufgaben zu Plus- und Minusklammern, Potenzen von Produkten, Produkte aus Faktor und Klammer, Faktorisieren durch Ausklammern - Lehrplan Nordrhein-Westfalen, Gymnasium G8, 7. Klasse/8. Klasse

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Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Gleichartige Terme werden addiert und subtrahiert, indem man ihre Vorzahlen addiert und subtrahiert (Distributivgesetz). Bringe dazu zunächst alle Summanden in die Form

    "Vorzahl · Variable", also z.B.

    • a · 3 = 3a
    • a · 2 · 4 = a · 8 = 8a
    • a : 2 = ½ a
    • a = 1a
    • -a = -1a
    Dabei wird das Kommutativgesetz (z.B. erste Zeile) und das Assoziativgesetz (zweite Zeile erster Schritt) angewendet.

Welche Terme sind äquivalent (mindestens 2)?

a
:
5
+
2a
−
a
1,2a
a
+
0,2
3a
−
4
5
 
a
  • Nebenrechnung
Checkos: 0 max.
Gleichartige Terme werden addiert und subtrahiert, indem man ihre Vorzahlen addiert und subtrahiert (Distributivgesetz). Bringe dazu zunächst alle Summanden in die Form

"Vorzahl · Variable", also z.B.

  • a · 3 = 3a
  • a · 2 · 4 = a · 8 = 8a
  • a : 2 = ½ a
  • a = 1a
  • -a = -1a
Dabei wird das Kommutativgesetz (z.B. erste Zeile) und das Assoziativgesetz (zweite Zeile erster Schritt) angewendet.
Beispiel
Überprüfe auf Äquivalenz:
z
:
7
−
z
+
7
·
z
+
z
·
2
 
      und      
 
9z
−
6
14
·
z
·
2
Produkte wie
  • 3 ·a
  • q ·½
  • 3q
können nur dann durch Addition und Subtraktion zusammengefasst werden, wenn sie gleichartig sind ("Äpfel mit Äpfel und Birnen mit Birnen"). Hier sind das die letzten beiden Produkte (jeweils q als Variable):

q ·½ + 3q = ½q + 3q = 3½ q

q ·½ − 3q = ½q − 3q = −2½ q

Beispiel
Vereinfache:
5
·
r
:
6
−
1
3
·
s
+
2r
−
7
6
+
s
·
2
3
Regel für das Auflösen von Klammern:
  • Steht vor der Klammer ein Plus, so kann die Klammer einfach weggelassen werden.
  • Steht vor der Klammer ein Minus, so ersetze dieses durch ein Plus, drehe aber innerhalb der Klammer jedes Vorzeichen um.
Beispiel 1
Vereinfache:
5a
+
7b
−
a
−
b
Beispiel 2
Vereinfache:
7a
2
+
5b
−
2
3
 
ab
+
4
·
b
·
1
2
 
a
·
a
Produkte und Quotienten von Variablen(-Potenzen) lassen sich, sofern die Variable immer dieselbe ist, zu einer Potenz zusammenfassen. Z.B.
a · a3 : a2 = a4 : a2 = a2
Beispiel
Fasse zusammen:
xy
3
:
x
2
·
y
2
Bei komplexeren Termen hilft meist die folgende Strategie weiter:
  1. Klammern auflösen/ausmultiplizieren
  2. gleichartige Terme durch Addieren/Subtrahieren zusammenfassen
Beispiel
Vereinfache:
3
−
2
9
 
v
−
2
3
−
1
3
·
6
−
v
·
2
Enthält jeder einzelne Summand einer Summe denselben Faktor, so kann man diesen ausklammern, also als Faktor vor die Summenklammer schreiben (Distributivgesetz "rückwärts"):

a · b + a · c = a · (b + c)

(Ebenso mit − statt +)

Beispiel 1
Gib größtmögliche Zahlen/Potenzen an, die ausgeklammert werden können:
−
18
 
x
2
y
3
z
+
54
 
x
 
y
2
z
+
27
 
x
4
y
5
Beispiel 2
Klammere so viele Faktoren wie möglich aus:
14a
2
b
3
−
21ab
2
+
42ab
3