Koordinatengeometrie im Raum - Vektorprodukt LEISTUNGSKURS (optional) - Aufgaben

Vektorprodukt, Dreiecksflächen, Spatvolumen, Pyramidenvolumen - Lehrplan für 11.-12. Klasse

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Beachte, dass die übliche Vorgehensweise die Flächenbestimmung zunächst nur für Parallelogramme und dadurch auch für Dreiecke ermöglicht. Überlege hier, wie du dieses Vorwissen auf ein beliebiges Viereck übertragen kannst.
  • Das von zwei Vektoren aufgespannte Parallelogramm besitzt einen Flächeninhalt, der der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
    So kannst du auch andere Flächeninhalte berechnen:
    • Das von zwei Vektoren aufgespannte Dreieck besitzt einen Flächeninhalt, der der Hälfte der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
    • Die Flächeninhalte anderer n-Ecke lassen sich durch vorherige Zerlegung des n-Ecks in Dreiecke berechnen.


    Ein Spat ("schräge Schuhschachtel") wird von drei Vektoren aufgespannt. Um sein Volumen VSpat zu berechnen, gehe wie folgt vor:
    1. Nimm zwei (von den drei aufspannenden Vektoren) und berechne deren Vektorprodukt.
    2. Berechne dann das Skalarprodukt aus dem Ergebnis von (1) und dem dritten Vektor.
    3. Der Betrag davon ist das Spatvolumen.

    Mit dieser Vorgehensweise kannst du den Rauminhalt weiterer geometrischer Körper bestimmen:
    • Vierseitiges Prisma = Spat (V4-stg.Prisma = VSpat)
    • Dreiseitiges Prisma = halber Spat (V3-stg.Prisma = ½ VSpat)
    • Vierseitige Pyramide (V4-stg.Pyr = 1/3 VSpat)
    • Dreiseitige Pyramide (V3-stg.Pyr = 1/6 VSpat)

Gesucht ist ein Flächeninhalt bzw. ein Volumen. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 1. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • Die Punkte A(-2|1|0), B(4|1|6), C(5|6|7) und D(-2|9|0) liegen in einer Ebene, bilden aber kein Parallelogramm, sondern ein beliebiges Viereck ABCD. Bestimme dessen Flächeninhalt und runde das Ergebnis auf eine Dezimale.
    A ≈ FE
    Notizfeld
    Notizfeld
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keine Berechtigung
Skalarprodukt und Vektorprodukt
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Skalarprodukt und Vektorprodukt

Kanal: Mathegym
Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. Hat der erste Faktor die Koordinaten a1, a2 und a3 und der zweite die Koordinaten b1, b2 und b3, so ergeben sich die Koordinaten des Kreuzprodukts nach folgender Rechenvorschrift:

a2b3 − a3b2

a3b1 − a1b3

a1b2 − a2b1

Beispiel
−
1
−
4
5
 
×
 
7
2
−
3
=
?
Das von zwei Vektoren aufgespannte Parallelogramm besitzt einen Flächeninhalt, der der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
Beispiel
Gegeben ist das Dreieck QRS mit den Punkten Q(2|3|-4), R(6|-1|-2) und S(9|-1|2). Bestimme seinen Flächeninhalt.
Das Vektorprodukt zweier Vektoren steht zu diesen beiden senkrecht.
Beispiel
Gegeben sind die Vektoren
 
a
=
1
−
2
3
 
und
 
b
=
−
3
−
1
2
 
.
Bestimme jeweils einen Vektor
 
v
 
, der zu diesen beiden senkrecht steht und
(a) die Länge 3 besitzt.
(b) dessen dritte Koordinate den Wert 1 besitzt.
Das von zwei Vektoren aufgespannte Parallelogramm besitzt einen Flächeninhalt, der der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
So kannst du auch andere Flächeninhalte berechnen:
  • Das von zwei Vektoren aufgespannte Dreieck besitzt einen Flächeninhalt, der der Hälfte der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
  • Die Flächeninhalte anderer n-Ecke lassen sich durch vorherige Zerlegung des n-Ecks in Dreiecke berechnen.


Ein Spat ("schräge Schuhschachtel") wird von drei Vektoren aufgespannt. Um sein Volumen VSpat zu berechnen, gehe wie folgt vor:
  1. Nimm zwei (von den drei aufspannenden Vektoren) und berechne deren Vektorprodukt.
  2. Berechne dann das Skalarprodukt aus dem Ergebnis von (1) und dem dritten Vektor.
  3. Der Betrag davon ist das Spatvolumen.

Mit dieser Vorgehensweise kannst du den Rauminhalt weiterer geometrischer Körper bestimmen:
  • Vierseitiges Prisma = Spat (V4-stg.Prisma = VSpat)
  • Dreiseitiges Prisma = halber Spat (V3-stg.Prisma = ½ VSpat)
  • Vierseitige Pyramide (V4-stg.Pyr = 1/3 VSpat)
  • Dreiseitige Pyramide (V3-stg.Pyr = 1/6 VSpat)
Ein Spat ("schräge Schuhschachtel") wird von drei Vektoren aufgespannt. Um sein Volumen zu berechnen, gehe wie folgt vor:
  1. Nimm zwei (von den drei aufspannenden Vektoren) und berechne deren Vektorprodukt.
  2. Berechne dann das Skalarprodukt aus dem Ergebnis von (1) und dem dritten Vektor.
  3. Der Betrag davon ist das Spatvolumen.
Beispiel
Berechne das Volumen des von den Vektoren 
a
, 
b
 und 
c
 aufgespannten Prismas mit 
a
=
1
2
−
1
, 
b
=
2
−
3
5
 und 
c
=
2
0
3
.
graphik
Eine Pyramide, die von drei Vektoren aufgespannt wir, passt genau sechs mal in den Spat, der von denselben drei Vektoren aufgespannt wird. Mit anderen Worten: Berechne das Spatvolumen und teile das Ergebnis durch sechs, um das Pyramidenvolumen zu erhalten.