Untersuchung von Verknüpfungen mit der ln-Funktion, Matheübungen

Kurvendiskussion von Funktionen, die sich unter anderem aus dem ln zusammensetzen - Lehrplan G9 (5.-12. Klasse)

Löse die Aufgabe Schritt für Schritt.

  • Gegeben ist die Schar von Funktionen 
    f
    k
     mit  
    f
    k
     
    x
    =
    k
    ·
    ln
     
    x
    2
    +
    k
      und 
    k
     
    ∈
     
    ℝ
    +
     mit jeweils maximalem Definitionsbereich 
    D
    =
    ℝ
    . Der Graph von 
    f
    k
     wird mit 
    G
    k
     bezeichnet.
    a) Weise nach, dass die Graphen aller Scharfunktionen die gleiche Symmetrieeigenschaft besitzen.
    b) Ermittle das Verhalten von f an den Rändern von 
    D
    f
    .
    c) Bestimme in Abhängigkeit von k Anzahl und Lage der Nullstellen von 
    f
    k
    .
    d) Zeige, dass alle Funktionen der Schar das gleiche Monotonieverhalten besitzen.
    e) Ermittle den Wert von k, für den das Minimum von 
    f
    k
     den kleinstmöglichen Wert annimmt. Gib den zugehörigen Tiefpunkt von 
    f
    k
     an.
    f) Berechne für die beiden Graphen 
    G
    k
     mit 
    k
    =
    1
    e
     bzw. 
    k
    =
    1
     jeweils die Nullstellen und die Funktionswerte an den Stellen 
    x
    =
    2
     und 
    x
    =
    4
    . Zeichne die beiden Graphen auf der Grundlage aller bisherigen Ergebnisse im Intervall 
    −
    4
     
    ≤
     
    x
     
    ≤
     
    4
    .
    Schritt 1/10
    Zu a)
    Welche der folgenden Terme stimmen überein?
     
    −
    k
    ·
    ln
     
    −
    x
    2
    +
    k
     
     
     
     
    k
    ·
    ln
     
    −
    x
    2
    +
    k
     
     
     
     
    k
    ·
    ln
     
    x
    2
    +
    k
     
     
     
     
    k
    ·
    ln
     
    x
    2
    −
    k
    Welche Eigenschaft haben somit alle Graphen 
    G
    k
    ?
    Achsensymmetrie bezüglich der x-Achse
    Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse
    Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs
    Notizfeld
    Notizfeld
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keine Berechtigung
Wie kann eine Funktion f(x) abgewandelt werden, um ihren Graphen Gf zu strecken, stauchen, verschieben oder zu spiegeln?
#488
h ( x ) = Gh geht aus Gf hervor durch
f ( x + a ) Verschiebung um |a| Einheiten nach rechts (a < 0) bzw. links (a > 0)
f ( x ) + a Verschiebung um |a| Einheiten nach oben (a > 0) bzw. unten (a < 0)
a · f ( x ), a > 0 Streckung (a > 1) bzw. Stauchung (a < 1) in y-Richtung
− f ( x ) Spiegelung an der x-Achse
f ( a · x ), a > 0 Streckung mit Faktor 1/a in x-Richtung
f ( −x ) Spiegelung an der y-Achse
Beispiel
Gegeben ist die Funktion f mit  
f
 
x
=
 
e
·
ln
 
x
x
2
  und maximalem Definitionsbereich 
D
f
. Der Graph von f wird mit 
G
f
 bezeichnet.
a) Gib 
D
f
 an.
b) Ermittle das Verhalten von f an den Rändern der Definitionsmenge.
c) Berechne alle Nullstellen von f.
d) Bestimme Lage und Art aller Extrempunkte von 
G
f
.
e) Berechne f(8) und zeichne 
G
f
 auf der Grundlage aller bisherigen Ergebnisse im Intervall 
0
 
<
 
x
 
≤
 
8
.
f) Gib die Wertemenge von f an.