Untersuchung von Verknüpfungen mit der ln-Funktion, Matheübungen

Kurvendiskussion von Funktionen, die sich unter anderem aus dem ln zusammensetzen - Lehrplan G9 (5.-12. Klasse)

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Löse die Aufgabe Schritt für Schritt.

  • Gegeben ist die Funktion f mit  
    f
     
    x
    =
    2
     
    ln
     
    x
    +
    1
    x
      und maximalem Definitionsbereich 
    D
    f
    . Der Graph von f wird mit 
    G
    f
     bezeichnet.
    a) Gib 
    D
    f
     an.
    b) Ermittle das Verhalten von f an den Rändern der Definitionsmenge.
    c) Berechne alle Nullstellen von f.
    d) Bestimme Lage und Art aller Extrempunkte von 
    G
    f
    .
    e) Berechne f(5) und zeichne 
    G
    f
     auf der Grundlage aller bisherigen Ergebnisse im Intervall 
    0
     
    <
     
    x
     
    ≤
     
    7
    .
    f) Gib die Wertemenge von f an.
    Schritt 1/8
    Zu a)
    Maximale Definitionsmenge:
     
    D
    f
    =
    ℝ
     
    D
    f
    =
    ℝ
    +
     
    D
    f
    =
    ℝ
    +
    0
     
    D
    f
    =
    ℝ
    −
     
    D
    f
    =
    ℝ
    −
    0
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Wie kann eine Funktion f(x) abgewandelt werden, um ihren Graphen Gf zu strecken, stauchen, verschieben oder zu spiegeln?
#488
h ( x ) = Gh geht aus Gf hervor durch
f ( x + a ) Verschiebung um |a| Einheiten nach rechts (a < 0) bzw. links (a > 0)
f ( x ) + a Verschiebung um |a| Einheiten nach oben (a > 0) bzw. unten (a < 0)
a · f ( x ), a > 0 Streckung (a > 1) bzw. Stauchung (a < 1) in y-Richtung
− f ( x ) Spiegelung an der x-Achse
f ( a · x ), a > 0 Streckung mit Faktor 1/a in x-Richtung
f ( −x ) Spiegelung an der y-Achse
Beispiel
Gegeben ist die Funktion f mit  
f
 
x
=
 
e
·
ln
 
x
x
2
  und maximalem Definitionsbereich 
D
f
. Der Graph von f wird mit 
G
f
 bezeichnet.
a) Gib 
D
f
 an.
b) Ermittle das Verhalten von f an den Rändern der Definitionsmenge.
c) Berechne alle Nullstellen von f.
d) Bestimme Lage und Art aller Extrempunkte von 
G
f
.
e) Berechne f(8) und zeichne 
G
f
 auf der Grundlage aller bisherigen Ergebnisse im Intervall 
0
 
<
 
x
 
≤
 
8
.
f) Gib die Wertemenge von f an.