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Vektoren (zweidimensional), Matheübungen
Vektorkoordinaten berechnen, Rechnen mit Vektoren, Parallelverschiebung
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Berechne den fehlenden Punkt des Parallelogramms ABCD.
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A(3|-2), B(5|3), D(1|4)
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie wirkt sich eine zentrische Streckung auf Länge und Richtung eines Vektors aus und wie berechnet man die Koordinaten des Bildvektors?
#884
Streckt man einen Vektor durch
zentrische Streckung
mit dem Streckungsfaktor
k
, dann erhält man die Koordinaten des Bildvektors, indem man die Koordinaten des Urvektors jeweils mit k multipliziert. Es gilt:
Der Bildvektor ist
|k|-mal
so lang wie der Urvektor
k>0: Ur- und Bildvektor haben die gleiche Richtung
k<0: Ur- und Bildvektor haben gegensätzliche Richtungen
Bild- und Urvektor sind immer parallel zueinander (oder identisch)
Beispiel
AB
=
2
−
1
soll mit
a)
k
=
0,5
b)
k
=
−
2
zentrisch gestreckt werden. Bestimme jeweils den Bildvektor
A'B'
und beschreibe sein Aussehen im Vergleich zum Urvektor.
Was sind die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke?
#708
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie in den jeweils entsprechenden Winkeln und allen Seitenverhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. Dieses Verhältnis wird als Streckungsfaktor (oder Ähnlichkeitsfaktor) k bezeichnet; k drückt aus, wie lang die Seiten in Figur 2 im Vergleich zu den entsprechenden Seiten in Figur 1 sind. Z.B. bedeutet k=0,5, dass Figur 2 längenmäßig halb so groß wie Figur 1 ist.
Kennt man k, so kann man zu jeder Seitenlänge in Figur 1 durch Multiplikation mit k die entsprechende Seitenlänge in Figur 2 angeben.
Kennt man die Längen von zwei sich entsprechenden Seiten in Figur 1 und Figur 2, so kann man k durch Division der Seitenlängen "Figur 2 : Figur 1" bestimmen.
Wie bestimmt man bei einer zentrischen Streckung den Punkt P, den Bildpunkt P' oder den Streckungsfaktor k mit Vektoren?
#885
Zentrische Streckung mit Zentrum Z: Um den Streckungsfaktor k, den Punkt P oder den Bildpunkt P' zu ermitteln, gehst du im Prinzip immer gleich vor:
Bilde den Verbindungsvektor von Z und P', ebenso den von Z und P
Der erste Vektor ist gleich "k mal" der zweite (Gleichung)
Die Vektorgleichung kann jetzt in zwei Gleichungen aufgespaltet werden
Schließlich kann nach k oder den gesuchten Koordinaten aufgelöst werden
Beispiel 1
Beispiel Urpunkt:
Z(-3|1)
,
k
=
2
,
P'(5|-4)
, bestimme den Urpunkt
P(x|y)
.
Beispiel 2
Beispiel Bildpunkt:
Z(-1|1)
,
k
=
4
,
P(2|-3)
, bestimme den Bildpunkt
P'(x'|y')
.
Beispiel 3
Beispiel Streckungsfaktor:
Z(2|4)
,
P(1|1)
,
P'(5|13)
bestimme den Streckungsfaktor
k
.
Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke AB?
#542
Für den Mittelpunkt M(x|y) einer Strecke
AB
mit A(x
A
|y
A
) und B(x
B
|y
B
) gilt:
x = (x
A
+ x
B
) : 2
y = (y
A
+ y
B
) : 2
Beispiel
Berechne den Mittelpunkt der Strecke [PQ], wenn P(2|5) und Q(4|1) ist.
M
2
+
4
2
|
5
+
1
2
M
3
|
3
Wie erhältst du die Gleichung einer Bildgerade oder Bildparabel bei einer zentrischen Streckung, wenn die Urgerade bzw. Urparabel durch ihre Gleichung gegeben sind?
#886
Mit dem Parameterverfahren Geraden und Parabeln zentrisch strecken:
Lautet die Geradengleichung z.B.
y = 2x + 3,
so haben alle Punkte P auf g die Koordinaten P(x|2x+3)
Bestimme jetzt P'(x'|y') mit derselben Methode, mit der sich Bildpunkte bei gegebenem Urpunkt bestimmen lassen.
Nach dem Lösen des Gleichungssystems erhältst du eine Gleichung der Art y'=...x'..., das ist die Gleichung der Bildgeraden.
Beispiel 1
Die Gerade
g: y
=
−
2x
+
1
soll zentrisch gestreckt werden mit
Z(5|5)
und
k
=
0,5
. Wie lautet die Gleichung der Bildgeraden
g'
?
Beispiel 2
Die Parabel
p: y
=
x
2
−
1
soll zentrisch gestreckt werden mit
Z(1|1)
und
k
=
2
. Wie lautet die Gleichung der Bildparabel
p'
?
Wie ermittelt man den Vektor einer einzelnen Parallelverschiebung, die zwei hintereinanderfolgenden Parallelverschiebungen entspricht?
#541
Die Verknüpfung von zwei Parallelverschiebungen kann durch eine einzige Parallelverschiebung ersetzt werden. Der neue Verschiebungsvektor errechnet sich aus der Summe der beiden ursprünglichen Vektoren.
Beispiel
Gegegeben sind die Vektoren
v
1
=
3
2
und
v
2
=
−
4
4
.
Zwei Parallelverschiebungen hintereinander mit diesen beiden Vektoren können ersetzt werden durch eine Parallelverschiebung mit dem Summenvektor:
v
=
v
1
⊕
v
2
v
=
3
2
⊕
−
4
4
v
=
−
1
6
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