3.1 Verknüpfte Funktionen aus Polynom und e-Funktion, Matheübungen

- Lehrplan - 16 Aufgaben in 4 Levels

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    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Stoff zum Level
    Stellen, an denen sich die Krümmung eines Graphen ändert, nennt man Wendepunkte. Sofern f zweimal differenzierbar ist, gilt der Zusammenhang:

    Gf besitzt einen Wendepunkt an der Stelle x = a

    ⇔

    f ´´ (a) = 0 und Vorzeichenwechsel von f ´´ bei x = a

  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 3
  • Bestimme die Gleichung der Wendetangente an den Graphen von \(f \text{.}\)
  • Zwischen­schritte aktivieren
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    • \(\displaystyle f(x)=x\cdot e^{-x}\)

    Wendetangente: \(w(x)=\class{mathjax-input mathjax-input-1}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}e^\class{mathjax-input mathjax-input-2}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}x+\class{mathjax-input mathjax-input-3}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}e^\class{mathjax-input mathjax-input-4}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}\)

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Stoff zum Thema (+Video)
Was ist ein Wendepunkt und wie bestimmt man ihn rechnerisch?
#517
Stellen, an denen sich die Krümmung eines Graphen ändert, nennt man Wendepunkte. Sofern f zweimal differenzierbar ist, gilt der Zusammenhang:

Gf besitzt einen Wendepunkt an der Stelle x = a

⇔

f ´´ (a) = 0 und Vorzeichenwechsel von f ´´ bei x = a

Beispiel
Bestimme sämtliche Wendepunkte von Gf sowie die Gleichung(en) ihrer Wendetangente(n).
f
 
x
=
−
1
4
 
x
3
+
6x
2
−
45x
−
1
Beispiel
Gegeben ist die für x∈ℝ definierte Funktion f mit 
f
 
x
=
2
−
3x
·
e
−
x
.
a) Wie verhält sich die Funktion im Unendlichen?
b) Gib alle Nullstellen an.
c) Bestimme alle relativen Hoch- und Tiefpunkte.
d) Berechne f(-0,5), f(0) und f(4) und zeichne 
G
f
 auf der Grundlage aller bisherigen Ergebnisse im Intervall 
−
0,5
 
≤
 
x
 
≤
 
4
.
e) Die Tangente an 
G
f
 an der Stelle 
x
=
0
 bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Bestimme dessen Fläche.