2.5 Verknüpfungen mit Exponentialfunktionen, Matheübungen

Natürliche Exponentialfunktion - Fundamente der Mathematik (11.-13. Klasse) - 56 Aufgaben in 13 Levels

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    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
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    Stellen, an denen sich die Krümmung eines Graphen ändert, nennt man Wendepunkte. Sofern f zweimal differenzierbar ist, gilt der Zusammenhang:

    Gf besitzt einen Wendepunkt an der Stelle x = a

    ⇔

    f ´´ (a) = 0 und Vorzeichenwechsel von f ´´ bei x = a

  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 13
  • Bestimme die Gleichung der Wendetangente an den Graphen von \(f \text{.}\)
  • Zwischen­schritte aktivieren

    • \(\displaystyle f(x)=x\cdot e^{-x}\)

    Wendetangente: \(w(x)=\class{mathjax-input mathjax-input-1}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}e^\class{mathjax-input mathjax-input-2}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}x+\class{mathjax-input mathjax-input-3}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}e^\class{mathjax-input mathjax-input-4}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}\)

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Stoff zum Thema (+Video)
Wie lautet die Gleichung der Asymptote bei Exponentialfunktionen vom Typ f(x) = a e^(kx) + b?
#704
Asymptote bei Exponentialfunktionen vom Typ f(x) = a ekx+b
  • Die Gleichung der Asymptote lautet y = b.
  • Wenn k positiv ist, schmiegt sich der Graph von f nach links an die Asymptote.
  • Wenn k negativ ist, schmiegt sich der Graph von f nach rechts an die Asymptote.
Wie bewirkt man durch Änderung des Funktionsterms eine Spiegelung an der x-Achse oder y-Achse sowie eine Verschiebung in y-Richtung?
#697

Regeln zur Transformation von Graphen

Der Graf einer Funktion f wird
  • ... an der x-Achse gespiegelt: Minus vor den Term, d.h. g(x) = - f(x)
  • ... an der y-Achse gespiegelt : x durch (-x) ersetzen, d.h. g(x) = f(-x)
  • ... um b in y-Richtung verschoben: b zum Term addieren, d.h. g(x) = f(x) +b
Was ist ein Wendepunkt und wie bestimmt man ihn rechnerisch?
#517
Stellen, an denen sich die Krümmung eines Graphen ändert, nennt man Wendepunkte. Sofern f zweimal differenzierbar ist, gilt der Zusammenhang:

Gf besitzt einen Wendepunkt an der Stelle x = a

⇔

f ´´ (a) = 0 und Vorzeichenwechsel von f ´´ bei x = a

Beispiel
Bestimme sämtliche Wendepunkte von Gf sowie die Gleichung(en) ihrer Wendetangente(n).
f
 
x
=
−
1
4
 
x
3
+
6x
2
−
45x
−
1
Wie verhalten sich die Funktionen x^n und e^x für x → ∞ und x → −∞?
#553
Die natürliche Exponentialfunktion verändert sich wesentlich schneller als jede Potenzfunktion. Daher gilt:
  • für x → −∞ strebt das Produkt aus ex und xn gegen 0
  • für x → ∞ strebt der Quotient aus xn und ex gegen 0
  • für x → ∞ strebt die Differenz aus ex und xn gegen ∞
Beispiel
lim
x → −∞
 
e
−
x
·
x
x
2
−
1
=
?
Beispiel
f
t
 
x
=
e
x
3
−
x
+
t
Bestimme den Parameterwert t so, dass die Tangente an 
G
t
 im Punkt (1 | ?) die Steigung 
1
4
 hat.
Beispiel 1
Gegeben ist die für x∈ℝ definierte Funktion f mit 
f
 
x
=
2
−
3x
·
e
−
x
.
a) Wie verhält sich die Funktion im Unendlichen?
b) Gib alle Nullstellen an.
c) Bestimme alle relativen Hoch- und Tiefpunkte.
d) Berechne f(-0,5), f(0) und f(4) und zeichne 
G
f
 auf der Grundlage aller bisherigen Ergebnisse im Intervall 
−
0,5
 
≤
 
x
 
≤
 
4
.
e) Die Tangente an 
G
f
 an der Stelle 
x
=
0
 bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Bestimme dessen Fläche.
Beispiel 2
Gegeben ist die Schar von Funktionen 
f
k
 mit  
f
k
 
x
=
x
·
e
1
−
x
k
,  Definitionsmenge 
D
f
 
=
 
ℝ
 und 
k
 
∈
 
ℝ
+
. Der Graph von 
f
k
 wird mit 
G
k
 bezeichnet.
a) Gib die Nullstellen und das Verhalten von 
f
k
 für x→±∞ an.
b) Bestimme Lage und Art des Extrempunkts von 
G
k
 in Abhängigkeit von k.
c) Begründe, dass die Extrempunkte aller Graphen der Schar auf einer Halbgerade liegen, und beschreibe die Lage dieser Halbgerade im Koordinatensystem.
d) Weise nach, dass alle Graphen der Funktionenschar im Ursprung die gleiche Tangente besitzen, und gib eine Gleichung dieser Tangente an.
e) Bestimme den Wert für 
k
 so, dass 
G
k
 durch den Punkt 
6
 
|
 
6
e
2
 verläuft, und zeichne den Graphen der zugehörigen Scharfunktion unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse.
Wie verhält sich die Exponentialfunktion exp(x) für x gegen plus oder minus unendlich?
#551
ex strebt
  • gegen 0 für x → −∞
  • gegen ∞ für x → ∞
Beispiel
lim
x → 1+
 
e
x
−
2
1
−
x
=
?