Was versteht man unter dem Urnenmodell in der Stochastik?
Im Urnenmodell wird ein Behälter (Urne) benutzt, um Laplace-Experimente zu modellieren.
Dazu wird die Urne mit einer bestimmten Anzahl Kugeln gefüllt, die bis auf eine Eigenschaft (z.B. Farbe) nicht unterscheidbar sind. Beim zufälligen Ziehen einer Kugel aus der Urne sollen alle Kugeln dieselbe Auswahlwahrscheinlichkeit haben. Es gibt die Unterscheidungen "Ziehen mit/ohne Zurücklegen" und "mit/ohne Beachtung der Reihenfolge" der gezogenen Kugeln.
Beispiel 1
Eine Urne enthält fünf Kugeln, die mit 1, 2, 3, 4 und 5 beschriftet sind. Aus dieser Urne wird zweimal eine Kugel gezogen und die entstehende zweistellige Zahl (1. Kugel Zehnerstelle, 2. Kugel Einerstelle) notiert.
Bestimme jeweils die Anzahl der möglichen zweistelligen Zahlen, wenn
a) die gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird,
b) die gezogene Kugel nicht wieder zurückgelegt wird.
c) Wie viele Möglichkeiten gibt es bei a) und b) für die Ziehung eines Pasches?
a) Wird die gezogene Kugel wieder zurückgelegt, so hat man für jede Ziffer fünf Möglichkeiten, nach dem Zählprinzip ergeben sich
Möglichkeiten für eine zweistellige Zahl.
| = |
|
b) Wird die gezogene Kugel nicht zurückgelegt, so ergeben sich für die erste Ziffer fünf Möglichkeiten, für die zweite Ziffer nur noch vier Möglichkeiten. Nach dem Zählprinzip erhält man
Möglichkeiten für eine zweistellige Zahl.
| = |
|
c) Ein Pasch bedeutet, dass zwei Kugeln mit gleichen Ziffern gezogen werden. Dies ist im Fall b) nicht möglich. Im Fall a) gibt es fünf solcher Möglichkeiten, nämlich
11, 22, 33, 44 und 55.
Beispiel 2
Aus einer Pralinenschachtel mit 20 unterschiedlichen Pralinen werden mit einem Griff acht Pralinen entnommen.
a) Gib ein passendes Urnenmodell an!
b) Auf wie viele verschiedene Arten ist dies möglich?
a) Eine passende Urne enthält 20 nummerierte Kugeln, die den einzelnen Pralinen entsprechen. Es werden acht Kugeln ohne Zurücklegen entnommen, wobei die Reihenfolge der Kugeln keine Rolle spielt ("mit einem Griff").
b)
| = | 125970 |
Hinweis: Man kann sich auch vorstellen, dass in der Pralinenschachtel ein Muster aus 12 leeren Plätzen entsteht; für dieses Muster gibt es auch
Möglichkeiten.
| = | 125970 |
Beispiel 3
Beim Lottospiel "6 aus 49" kann ein Spieler auf bis zu sechs richtige Zahlen getippt haben (Minimum: null). Konzipiere für die Zufallsgröße "Anzahl Richtiger" ein passendes Urnenmodell.
Bei einem Lottospiel werden durch sechsmaliges Ziehen ohne Zurücklegen 6 Gewinnzahlen aus 49 möglichen Zahlen ausgewählt. Man kann also zwischen 6 gezogenen Zahlen und 43 nicht gezogenen Zahlen unterscheiden. Folglich bietet sich für die Zufallsgröße "Anzahl Richtiger" eine Urne an, deren Inhalt aus 6 weißen und 43 schwarzen Kugeln besteht. Es wird sechsmal ohne Zurücklegen gezogen.
Beispiel 4
Eine Urne enthält fünf Kugeln, die mit 1, 2, 3, 4 und 5 beschriftet sind. Aus dieser Urne wird zweimal eine Kugel gezogen und die entstehende zweistellige Zahl (1. Kugel Zehnerstelle, 2. Kugel Einerstelle) notiert.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ...
a) ... beim Ziehen mit Zurücklegen eine Zahl über 50 gezogen wird?
b) ... beim Ziehen ohne Zurücklegen die Zahl 15 gezogen wird?
a) Es gibt die Möglichkeiten 51, 52, 53, 54 und 55. Deshalb beträgt die Wahrscheinlichkeit
| = |
|
b) Die Zahl 15 ist genau eine der möglichen zweistelligen Zahlen, deshalb beträgt die Wahrscheinlichkeit
| = |
|
Beispiel 5
In einer vollen Schachtel Pralinen befinden sich zwölf Marzipan-Pralinen und acht Schoko-Pralinen. Es werden mit einem Griff acht Pralinen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den entnommenen Pralinen genau drei Marzipan-Pralinen befinden?
X: "Anzahl der gezogenen Marzipan-Pralinen"
| = |
|
Erläuterung: Im Nenner die Anzahl aller Möglichkeiten "8 aus 20". Im Zähler "3 aus 12", da es 12 Marzipan-Pralinen gibt, von denen 3 genommen werden sollen und "5 aus 8", da die restlichen fünf Pralinen aus der Menge der acht Schoko-Pralinen stammen.
