Wie beweist man eine mathematische Aussage oder widerlegt sie? Welche fünf Strategien gibt es dafür?

Um nachzuweisen, dass eine mathematische Aussage falsch ist, genügt ein Gegenbeispiel: Es muss die Voraussetzungen erfüllen und der Behauptung widersprechen.

Um eine mathematische Aussage zu beweisen, ist ein Beispiel jedoch nicht ausreichend. Die mathematische Aussage ist nur wahr, wenn sie für alle Fälle zutrifft, also allgemeingültig ist. Beim Beweisen können verschiedene Strategien zum Einsatz kommen, die oft miteinander kombiniert werden müssen:
  • Rückgriff auf bekannte Eigenschaften oder Definitionen, z.B.: "Jedes gleichschenklige Dreieck besitzt zwei gleich lange Seitenlängen."
  • Rückgriff auf bereits bewiesene Sätze, z.B.: "Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°."
  • Anwendung bekannter Argumentationsmuster, z.B.: "Dreiecke, die in einer Seitenlänge und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind kongruent."
  • Symmetriebetrachtungen, z.B.: "Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch und wird durch die Symmetrieachse in zwei flächengleiche Teildreiecke zerlegt."
  • Aufstellen und Umformen von Termen, z.B.: "Die Summe von zwei aufeinander folgenden Zahlen ist x + (x+1) = 2x + 1, also ungerade."
Beispiel 1
"Jedes Schaf ist weiß."
Beschreibe wie man vorgehen müsste, um diese Aussage zu beweisen oder zu widerlegen.
Um die Aussage zu beweisen, müsste man bei jedem Schaf auf der ganzen Welt überprüfen, dass es weiß ist.
Das Widerlegen der Aussage ist viel einfacher: Ein einziges schwarzes Schaf stellt bereits ein Gegenbeispiel dar und zeigt, dass der Satz nicht allgemeingültig, im mathematischen Sinne also falsch ist. 
Beispiel 2
"Wenn die letzte Ziffer einer natürlichen Zahl die 4 ist, dann ist die Zahl selbst durch 4 teilbar."
Beweise oder widerlege diese Aussage.
Die Aussage ist falsch, was man durch ein Gegenbeispiel zeigen kann:
Die natürliche Zahl 14 erfüllt die Voraussetzung, dass ihre letzte Ziffer die 4 ist. Die Zahl 14 selbst ist jedoch nicht durch 4 teilbar.
Beispiel 3
"Jedes Rechteck, das zugleich eine Raute ist, ist ein Quadrat."
Beweise oder widerlege diese Aussage.
Die Aussage ist richtig. Um sie zu beweisen, greift man auf die bekannten Eigenschaften von Rechteck und Raute zurück:
  • Jedes Rechteck besitzt vier rechte Winkel.
  • Jede Raute besitzt vier gleich lange Seiten.
Somit besitzt ein Rechteck, das zugleich Raute ist, vier rechte Winkel und vier gleich lange Seiten. Ein Viereck mit diesen Eigenschaften ist ein Quadrat. Damit ist der Satz allgemein bewiesen.
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