Wie beeinflusst die Spiegelung eines Punktes P auf dem Einheitskreis an der x-Achse, y-Achse oder am Ursprung die Sinus- und Kosinuswerte?

Sei P der Punkt des Einheitskreises, der dem Winkel α zugeordnet ist.

Winkel Spiegelung von P Vorzeichenänderung Formeln
−α bzw.
360° − α
an der x-Achse nur sin sin(α) = − sin(360° − α)
cos(α) = cos(360° − α)
180° − α an der y-Achse nur cos sin(α) = sin(180° − α)
cos(α) = − cos(180° − α)
α ± 180° am Ursprung sin und cos sin(α) = − sin(α ± 180°)
cos(α) = − cos(α ± 180°)
α ± 360° P verändert sich nicht sin(α) = sin(α ± 360°)
cos(α) = cos(α ± 360°)
Beispiel 1
Führe sin(139°) auf einen Winkel im Intervall [180° ; 270°] zurück.

Spiegelung an der x-Achse, um einen Winkel im geforderten Intervall zu erhalten:
360°
139°
=
221°
Da sich bei der Spiegelung an der x-Achse der Sinuswert vom Vorzeichen her umdreht, muss −1 vor den neuen Sinuswert geschrieben werden:
sin(139°)
=
sin(221°)
Trigonometrie, Sinus und Kosinus am Einheitskreis, Beispiel 2
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Trigonometrie, Sinus und Kosinus am Einheitskreis, Beispiel 2

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Beispiel 2
Gib alle Lösungen im Intervall [0°;360°] an.
sin
x
=
0,7

sin(x)
 bezieht sich auf die y-Werte im Einheitskreis. Wie man sieht, gibt es dort genau zwei Punkte mit 
y
=
0,7
. Die zugehörigen Winkel α und β sind also die Lösungen der Gleichung 
sin
x
=
0,7
 im Intervall [0°;360°]. Aufgrund der Symmetrie gilt 
β
=
180°
α
.
graphik
Laut Taschenrechner gilt 
sin
1
 
0,7
 
 
44,4°
 [achte darauf, dass der TR auf Gradmaß ("Degree") eingestellt ist]. Dieser Wert entspricht dem oben abgebildeten Winkel α. Der zweite abgebildete Winkel ergibt sich dann durch 
β
 
 
180°
44,4°
=
135,6°.
Damit lauten die Lösungen 
x
1
 
 
44,4°
 und 
x
2
 
 
135,6°.
Trigonometrie, Beispiel Gleichung
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Beispiel 3
Führe cos(2314°) auf einen Winkel zwischen 0° und 90° zurück:

Lösung:
Ziehe zunächst das größtmögliche Vielfache von 360° raus:
2314°
:
360
=
6 Rest 154
, d.h. 
cos(2314°)
=
cos(154°)
Um auf einen Winkel im geforderten Intervall zu kommen, muss man 154° an der y-Achse spiegeln:
180°
154°
=
26°
Da sich bei der Spiegelung an der y-Achse der Kosinuswert vom Vorzeichen her ändert, muss vor den neuen Kosinuswert noch ein Minuszeichen gesetzt werden:
cos(2314°)
=
cos(26°)
graphik

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