Was ist die exklusive Eigenschaft von Punkten auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB]?
Punkte, die auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegen, haben eine exklusive Eigenschaft (d.h. nur sie haben diese Eigenschaft): Sie sind zu A und B gleich weit entfernt. D.h.
- ist P ein beliebiger Punkt der Mittelsenkrechten, so ist dieser zu A und B gleich weit entfernt.
- ist irgendein Punkt P von A und B gleich weit entfernt, so muss die Mittelsenkrechte durch P gehen.
Beispiel 1
Gegeben ist die Strecke [AB]. Konstruiere die Mittelsenkrechte.
Lösung: Man zeichnet zwei gleich große Kreise um A und B, die sich schneiden. Diese Schnittpunkte haben jeweils von A und B die gleiche Entfernung und müssen daher auf der Mittelsenkrechten liegen.
Beispiel 2
Ein Winkel soll halbiert werden.
Lösung:
- Ziehe einen Kreis um den Scheitelpunkt, dieser schneide die beiden Schenkel in den Punkten A und B.
- Ziehe zwei gleich große Kreise um A und um B. Durch deren Schnittpunkt C verläuft die Winkelhalbierende.
Begründung für das Vorgehen: SC ist die Mittelsenkrechte der Strecke [AB].
Beispiel 3
Im Punkt P soll ein Lot zur Geraden g errichtet werden.
Lösung:
- Ziehe einen Kreis um P, so dass dieser die Gerade g in zwei Punkten A und B schneidet.
- Ziehe zwei gleich große Kreise um A und um B. Durch deren Schnittpunkt C verläuft das Lot.
Begründung für das Vorgehen: Man konstruiert die Mittelsenkrechte von [AB]; diese geht durch P, da P der Mittelpunkt von [AB] ist.
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P muss für diese Konstruktion nicht auf g liegen, d.h. genauso wie oben kann man vorgehen, wenn von P aus ein Lot auf g gefällt werden soll. In diesem Fall kann man es sich allerdings noch einfacher machen:
- Wähle zwei Punkte A und B auf g.
- Ziehe um A und B jeweils einen Kreis durch P. Das Lot verläuft durch die Kreisschnittpunkte.
Begründung für das Vorgehen: A und B sind von P und P´ jeweils gleich weit entfernt, also ist AB die Mittelsenkrechte von [PP´].
Siehe auch
