Was ist bei einer quadratischen Gleichung mit einem Parameter zu beachten?

In einer quadratischen Gleichung mit x als gesuchte Variabe kann eine weitere Variable (=Parameter) k vorkommen. Abhängig von k kann es zwei, eine oder keine Lösung für x geben. Wenn es mehrere Lösungen gibt, so sind diese abhängig von k.
Beispiel
Ermittle, für welche Werte von k es zwei/eine/keine Lösung(en) gibt. Gib, falls vorhanden, die Lösung(en) in Abhängigkeit von k an:
2x
2
+
x
−
4k
=
0
Lösung:
  • Diskriminante D > 0
Die Formel für die Diskriminante lautet D
=
b
2
−
4ac
 wobei hier 
a
=
2,
 
b
=
1
 und 
c
=
−
4k
 gilt.
D
=
1
2
−
4
·
2
·
−
4k
=
1
+
32k
Jetzt überprüft man, für welche Werte von k die Diskriminante D positiv ist:
D
>
0
1
+
32k
>
0
−
1
32k
>
−
1
:
32
k
>
−
1
32

  • Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von k
Für 
k
 
>
 
−
1
32
 gilt 
D
 
>
 
0
 und man erhält zwei Lösungen:
x
1,2
=
−
b
 
±
 
D
2a
=
−
1
 
±
 
1
+
32k
4
Für 
k
=
−
1
32
 gilt 
D
=
0
 und man erhält eine Lösung:
x
=
−
1
 
±
 
0
4
=
−
1
4
Für 
k
 
<
 
−
1
32
 gilt 
D
 
<
 
0
 und man erhält keine Lösung.
Siehe auch

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