Was ist bei einer quadratischen Gleichung mit einem Parameter zu beachten?
In einer quadratischen Gleichung mit x als gesuchte Variabe kann eine weitere Variable (=Parameter) k vorkommen. Abhängig von k kann es zwei, eine oder keine Lösung für x geben. Wenn es mehrere Lösungen gibt, so sind diese abhängig von k.
Beispiel
Ermittle, für welche Werte von k es zwei/eine/keine Lösung(en) gibt. Gib, falls vorhanden, die Lösung(en) in Abhängigkeit von k an:
| = | 0 |
Lösung:
- Diskriminante D > 0
Die Formel für die Diskriminante lautet | = |
|
a | = | 2, |
b | = | 1 |
c | = |
|
| = |
|
Jetzt überprüft man, für welche Werte von k die Diskriminante D positiv ist:
| > |
| ||||||||
| > |
|
| |||||||
| > |
|
| |||||||
| > |
| ||||||||
- Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von k
Für
gilt
und man erhält zwei Lösungen:
|
| 0 |
| = |
| |||||||||||||||||||||
|
| = |
| |||||||||||||||||||||
Für
gilt
und man erhält eine Lösung:
|
D | = | 0 |
| = |
|
Für
gilt
und man erhält keine Lösung.
|
| 0 |
