Wie wendet man die pq-Formel auf eine quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 1 an?

Ist die quadratische Gleichung in der Form

ax² + bx + c = 0

gegeben (d.h. steht vor x² eine Zahl ≠ 1), so muss man die Gleichung erst auf beiden Seiten durch a teilen (a ≠ 0 vorausgesetzt), bevor man die pq-Formel anwendet.
Beispiel
Löse die Gleichung 
2x
2
−
10x
=
14
.
Die Gleichung muss zunächst in die richtige Form 
x
2
+
px
+
q
=
0
 gebracht werden.
(d.h. rechts vom "=" steht die Null und links vom "=" steht am Anfang 
x
2
, dahinter …x und dahinter die Konstante).
2x
2
−
10x
=
28
−
28
2x
2
−
10x
−
28
=
0
:
2
x
2
−
5x
−
14
=
0
  • p und q ablesen
p
=
−
5
 (der Faktor vor 
x
)
q
=
−
14
 (die Konstante)
Beachte: das Rechenzeichen vor den Zahlen ist (als Vorzeichen gedacht) jeweils mitzunehmen!
  • Diskriminante D bestimmen
D
=
p
2
2
−
q
=
−
5
2
2
−
−
14
=
6,25
+
14
=
20,25
D > 0 und damit gibt es zwei Lösungen:
  • Lösungen mit pq-Formel bestimmen
x
1,2
=
−
p
2
 
±
 
D
=
−
−
5
2
 
±
 
20,25
=
2,5
 
±
 
4,5
x
1
=
2,5
+
4,5
=
7
x
2
=
2,5
−
4,5
=
−
2
Bemerkung: Oft setzt man p und q gleich in die vollständige Formel ein, d.h. man rechnet D nicht extra aus. Beim Beispiel oben:
x
1,2
=
−
p
2
 
±
 
p
2
2
−
q
=
−
−
2,5
 
±
 
−
2,5
2
−
−
14
=
2,5
 
±
 
20,25
=
…
Siehe auch

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