Wie kann eine quadratische Gleichung eine oder zwei Lösungen haben? Gib jeweils ein Beispiel und begründe dies.

Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Daher hat eine quadratische Gleichung der Form
  • (x − 1)⋅(x + 2) = 0 die zwei Lösungen 1 und -2
  • (x − 3)² = 0 nur die Lösung 3
Beispiel
Gib eine quadratische Gleichungen an, die als einzige Lösung x = -5 hat.
Richtig
 
sind u.a. folgende Antworten:
x
+
5
2
=
0
1
3
 
x
+
5
·
x
2
+
1
=
0
Begründung: Der linke Term ist ein Produkt. Für x = -5 ergibt die erste Klammer und damit ein Faktor Null, die zweite Klammer ist wegen x² immer positiv, daher keine weitere Lösung.
x
2
+
10x
+
25
=
0
Begründung: Nach der ersten binomischen Formel ergibt sich ( x + 5)² = 0.
Falsch
 
ist dagegen:
x
−
5
·
x
2
+
1
=
0
Begründung: 5 (und nicht -5) ist Lösung.
x
+
5
·
x
=
0
Begründung: auch 0 ist eine Lösung.
x
+
5
2
+
1
=
0
Begründung: links steht kein Produkt, für x = -5 ergibt sich 0 + 1 (und nicht 0).

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