Wie macht man eine Bruchgleichung nennerfrei und was sollte man beachten?

Ein Zwischenziel beim Lösen von Bruchgleichungen besteht darin, die Gleichung nennerfrei zu machen. Das gelingt, auch bei Bruchgleichungen mit mehreren Summanden, indem man beide Seiten mit dem Produkt aller auftretenden Nennerterme bzw. mit ihrem kleinsten gemeinsamen Vielfachen ("Hauptnenner") multipliziert.
Beispiel 1
Löse die Gleichung:
3x
−
1
2x
+
3
=
−
6x
2
−
4x
Lösung:
3x
−
1
2x
+
3
=
−
6x
2
−
4x
X
3x
−
1
·
2
−
4x
=
−
6x
·
2x
+
3
ausmultiplizieren
6x
−
12x
2
−
2
+
4x
=
−
12x
2
−
18x
zusammenfassen
10x
−
12x
2
−
2
=
−
12x
2
−
18x
+
12x
2
10x
−
2
=
−
18x
+
18x
+
2
28x
=
2
:
28
x
=
1
14
 
definiert
Beispiel 2
5
+
7x
−
2
4x
−
6
=
2x
9
−
6x
  • Hauptnenner bestimmen
4x
−
6
=
2
·
2x
−
3
9
−
6x
=
−
3
·
2x
−
3
HN
=
−
6
·
2x
−
3
 
   →enthält beide Nenner
  • beide Seiten mit Hauptnenner multiplizieren und kürzen
5
·
−
6
·
2x
−
3
−
30
·
2x
−
3
+
7x
−
2
4x
−
6
·
−
6
·
2x
−
3
7x
−
2
·
−
3
=
2x
9
−
6x
·
−
6
·
2x
−
3
2x
·
2
  • Nach x auflösen
−
60x
+
90
−
21x
+
6
=
4x
−
81x
+
96
=
4x
+
81x
96
=
85x
:
85
x
=
96
85
Die Lösung ist in Hinblick auf die Ausgangsgleichung definiert (im Nenner ergibt sich jeweils nicht Null).
Bruchgleichung lösen mit und ohne Hauptnenner
Lernvideo

Bruchgleichung lösen mit und ohne Hauptnenner

Kanal: Mathegym
Beispiel 3
Löse die Gleichung
3
x
−
3
−
1
x
=
x
+
1
x
3
−
6x
2
+
9x
Lösung siehe erstes Video; die anderen Videos zeigen weitere Beispiele.
Bruchgleichung mit Mitternachtsformel lösen
Lernvideo

Bruchgleichung mit Mitternachtsformel lösen

Kanal: Mathegym
BRUCHGLEICHUNGEN lösen Klasse 10 – quadratische Bruchgleichungen
Lernvideo

BRUCHGLEICHUNGEN lösen Klasse 10 – quadratische Bruchgleichungen

Kanal: MathemaTrick
Bruchgleichungen und Gleichungen höheren Grades auf quadratische Gleichung zurückführen
Lernvideo

Bruchgleichungen und Gleichungen höheren Grades auf quadratische Gleichung zurückführen

Kanal: Mathegym
Siehe auch

Mathe-Aufgaben zu diesem Thema

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