Wie bestimmt man die Schnittpunkte der Graphen zweier Potenzfunktionen?

Die Graphen-Schnittpunkte zweier Potenzfunktionen der Art a·xn erhält man, indem man der Reihe nach...
  1. (wie üblich) die beiden Funktionsterme zunächst gleichsetzt,
  2. mit der linken Seite subtrahiert, so dass eine "...=0"-Gleichung entsteht,
  3. auf der linken Seite die kleinere der beiden x-Potenzen ausklammert,
  4. die beiden Faktoren (x-Potenz und Klammer dahinter) nacheinander gleich null setzt.
Bemerkung: Beide Graphen schneiden sich immer im Ursprung des Koordinatensystems. Ob es weitere Schnittpunkte gibt und wie viele, erkennt man, indem man die Graphen skizziert. Beachte beim Lösen auch die symmetrischen Eigenschaften der Graphen, damit sparst du dir Rechenarbeit.
Beispiel
f
 
x
=
1
3
 
x
7
g
 
x
=
3
 
x
5
Ermittle die Anzahl der Schnittpunkte beider Graphen durch grobe Skizze und bestimme die genauen Koordinaten rechnerisch.
Lösung durch Gleichsetzen der Funktionsterme:
f
 
x
=
g
 
x
1
3
 
x
7
=
3
 
x
5
−
3
 
x
5
1
3
 
x
7
−
3
 
x
5
=
0
die kleinere x-Potenz ausklammern
x
5
 
1
3
 
x
2
−
3
=
0
Ein Produkt ist null, wenn einer der beiden Faktoren null ist. Der erste Faktor 
x
5
 ist null für 
x
=
0
. Daraus ergibt sich der Schnittpunkt S1(0|0). Betrachten wir jetzt noch den zweiten Faktor:
1
3
 
x
2
−
3
=
0
+
3
1
3
 
x
2
=
3
·
3
x
2
=
9
 
x
=
±3
Durch Einsetzen der Lösungen in einen der beiden Funktionsterme ergeben sich die jeweiligen y-Werte. Man erhält somit zwei weitere Schnittpunkte: S2(−3|-729) und S3(3|729).
Potenzfunktionen mit natürlichem Exponent - Schnittpunkte der Graphen
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Potenzfunktionen mit natürlichem Exponent - Schnittpunkte der Graphen

Kanal: Mathegym
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