Was ist eine separierbare Differentialgleichung und wie wird sie gelöst?
Eine separierbare Differentialgleichung ist eine Art von Differentialgleichung, die in der Form
$$
\frac{dy}{dx} = g(x) h(y)
$$
geschrieben werden kann, wobei \(g(x)\) eine Funktion von \(x\) und \(h(y)\) eine Funktion von \(y\) ist. Diese Gleichungen können durch Trennung der Variablen gelöst werden, was bedeutet, dass wir die Terme, die von \(y\) abhängen, auf eine Seite der Gleichung und die Terme, die von \(x\) abhängen, auf die andere Seite bringen.
Beispiel: $$ \frac{dy}{dx} = y \cdot \sin(x) $$
Beispiel: $$ \frac{dy}{dx} = y \cdot \sin(x) $$
Beispiel
1. Löse die Differentialgleichung durch Trennung der Variablen.
2. Bestimme die allgemeine Lösung.
$$ \frac{dy}{dx} = y(1 - y)= y\,' $$
Man erkennt zuerst, dass \(y=0\) und \(y=1\) spezielle Lösungen der DGL sind. Für \(y≠0,y≠1\) können wir dann die allgemeine Lösung bestimmen:
Wir bringen die Gleichung in die Form: $$ \frac{dy}{y(1 - y)} = dx $$
Nun integrieren wir beide Seiten: $$ \int \frac{dy}{y(1 - y)} = \int dx $$ Um das Integral auf der linken Seite zu lösen, verwenden wir die Partialbruchzerlegung: $$ \frac{1}{y(1 - y)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{1 - y} $$ Multiplizieren mit \( y(1 - y):\) $$ 1 = A(1 - y) + By $$ Setzen wir \(y = 0\): $$ 1 = A \implies A = 1 $$ Setzen wir \(y = 1\): $$ 1 = B \implies B = 1 $$ Somit gilt: $$ \frac{1}{y(1 - y)} = \frac{1}{y} + \frac{1}{1 - y} $$ Jetzt können wir das Integral berechnen: $$ \int \left( \frac{1}{y} + \frac{1}{1 - y} \right) dy = \int dx $$ Das ergibt: $$ \ln |y| - \ln |1 - y| = x + C $$ Das Minus vor dem zweiten ln ergibt sich weil man 1-y beim Ableiten nachdifferenzieren muss
Wir können die Logarithmen zusammenfassen: $$ \ln | \frac{y}{1 - y} | = x + C $$ Um die Exponentialfunktion anzuwenden, nehmen wir die Basis e: $$ \frac{y}{1 - y} = ±~e^{x + C} $$ durch auflösen der Betragsstriche ergibt sich das ± vor der Exponentialfunktion
1.Trennung der Variablen:
Wir bringen die Gleichung in die Form: $$ \frac{dy}{y(1 - y)} = dx $$
2.Integration:
Nun integrieren wir beide Seiten: $$ \int \frac{dy}{y(1 - y)} = \int dx $$ Um das Integral auf der linken Seite zu lösen, verwenden wir die Partialbruchzerlegung: $$ \frac{1}{y(1 - y)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{1 - y} $$ Multiplizieren mit \( y(1 - y):\) $$ 1 = A(1 - y) + By $$ Setzen wir \(y = 0\): $$ 1 = A \implies A = 1 $$ Setzen wir \(y = 1\): $$ 1 = B \implies B = 1 $$ Somit gilt: $$ \frac{1}{y(1 - y)} = \frac{1}{y} + \frac{1}{1 - y} $$ Jetzt können wir das Integral berechnen: $$ \int \left( \frac{1}{y} + \frac{1}{1 - y} \right) dy = \int dx $$ Das ergibt: $$ \ln |y| - \ln |1 - y| = x + C $$ Das Minus vor dem zweiten ln ergibt sich weil man 1-y beim Ableiten nachdifferenzieren muss
3. Umformen der Gleichung:
Wir können die Logarithmen zusammenfassen: $$ \ln | \frac{y}{1 - y} | = x + C $$ Um die Exponentialfunktion anzuwenden, nehmen wir die Basis e: $$ \frac{y}{1 - y} = ±~e^{x + C} $$ durch auflösen der Betragsstriche ergibt sich das ± vor der Exponentialfunktion
Setzen wir \(k = e^C\), erhalten wir:
$$ \frac{y}{1 - y} = ke^x~~~~~~mit~einer ~reellen~Variable~k $$
4. Lösen nach \(y\):
Um \(y\) zu isolieren, multiplizieren wir beide Seiten mit \(1-y\):
$$ y = ke^x(1 - y) $$ Das ergibt: $$ y + kye^x = ke^x $$ $$ y(1 + ke^x) = ke^x $$ $$ y = \frac{ke^x}{1 + ke^x} $$ Das ist dann die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.