Wie überprüft man, ob eine Funktion eine Lösung einer DGL ist?
Möchte man die Richtigkeit einer DGL überprüfen, muss man einfach nur die vorgegebene Funktion und ihre Ableitungen in die DGL einsetzen und die Richtigkeit durch algebraische Überlegungen nachweisen.
Hat die DGL zwei von 0 verschieden Seiten, empfiehlt es sich, diese hintereinander umzuformen.
Beispiel
Die Differentialgleichung der harmonischen Schwingung lautet nach Teilen durch m:
$$
y\,'' + \frac{D}{m}·y = 0
$$
Zeigen Sie, dass die allgemeine Sinusfunktion eine Lösung ist
Schritt 1: Erste Ableitung
Zuerst berechnen wir die erste Ableitung von \(y(t)\): $$ y\,' = A \omega \cos\left(\omega t + \phi\right) $$Schritt 2: Zweite Ableitung
$$ y\,'' = -A \omega^2 \sin\left(\omega t + \phi\right) $$Schritt 3: Einsetzen in die Differentialgleichung
$$ y\,'' + \frac{D}{m} y = 0 $$ ergibt: $$ -A \omega^2 \sin\left(\omega t + \phi\right) + \frac{D}{m} \left(A \sin\left(\omega t + \phi\right)\right) = 0 $$ Und nach Ausklammern: $$ -A \sin\left(\omega t + \phi\right)·\left(\omega^2 -\frac{D}{m}\right) = 0 $$Schritt 4: physikalische Bedingung:
die Gleichung immer wahr, wenn \(\omega = \sqrt{\frac{D}{m}}\) also können wir schließen, dass die Funktion: $$ y(t) = A \sin\left(\omega t + \phi\right) $$ mit \(\omega = \sqrt{\frac{D}{m}}\) eine Lösung der Differentialgleichung der harmonischen Schwingung ist.