Wie helfen die Sigma-Regeln bei normalverteilten Zufallsgrößen und wie lauten sie?

Für eine normalverteilte Zufallsgröße X mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ sind oft Wahrscheinlichkeiten dafür von Interesse, dass X in einem um μ symmetrischen Intervall liegt. In diesem Fall helfen die so genannten Sigma-Regeln:
  • Intervall gegeben, Wahrscheinlichkeit gesucht
P(X ∈ [μ - σ; μ + σ]) ≈ 0,683
P(X ∈ [μ - 2σ; μ + 2σ]) ≈ 0,954
P(X ∈ [μ - 3σ; μ + 3σ]) ≈ 0,997
  • Wahrscheinlichkeit gegeben, Intervall gesucht
P(X ∈ [μ - 1,64σ; μ + 1,64σ]) ≈ 0,90
P(X ∈ [μ - 1,96σ; μ + 1,96σ]) ≈ 0,950
P(X ∈ [μ - 2,58σ; μ + 2,58σ]) ≈ 0,990
Beispiel 1
Ermittle für die normalverteilte Zufallsgröße X mit 
μ
=
52
 und 
σ
=
10
 nur mithilfe der Sigma-Regeln:
a) die Wahrscheinlichkeit, dass X um höchstens 20 von 52 abweicht
b) 
P
 
X
 
≥
 
62
Zu a)
P
 
X
−
52
 
≤
 
20
=
P
 
X
 
∈
 
μ
−
2σ;
 
μ
+
2σ
 
≈
 
95,4%
Zu b)
Wegen der Symmetrie der zugehörigen Gauß'schen Glockenkurve bezüglich 
x
=
52
 gilt:
P
 
X
 
≥
 
62
=
1
2
·
P
 
X
 
≥
 
62
+
P
 
X
 
≤
 
42
=
1
2
·
1
−
P
 
X
 
∈
 
42;
 
62
=
1
2
·
1
−
0,683
 
≈
 
15,85%
Normalverteilung: Wahrscheinlichkeiten mit Sigma-Regeln berechnen
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Beispiel 2
Ermittle für die normalverteilte Zufallsgröße X mit 
μ
=
52
 und 
σ
=
10
 nur mithilfe der Sigma-Regeln:
a) ein Intervall I so, dass die Wahrscheinlichkeit 
P
 
X
 
∈
 
I
 ungefähr 99% beträgt
b) 
a
 
∈
 
ℝ
 so, dass 
P
 
a
 
≤
 
X
 
≤
 
52
 
≈
 
45%
Zu a)
Wegen der Sigma-Regel 
P
 
X
 
∈
 
μ
−
2,58σ;
 
μ
+
2,58σ
 
≈
 
99,0%
 und aus 
2,58σ
=
2,58
·
12
=
30,96
 ergibt sich 
I
=
21,04;
 
82,96
 als geeignetes Intervall.
Zu b)
Aus Symmetriegründen und wegen der Sigma-Regel 
P
 
X
 
∈
 
μ
−
1,64σ;
 
μ
+
1,64σ
 
≈
 
90%
 ergibt sich 
P
 
X
 
∈
 
μ
−
1,64σ;
 
μ
 
≈
 
45%
.
 Somit:
a
=
μ
−
1,64σ
=
35,6
Beispiel 3
Eine Physik-Lehrerin hat schon öfter Schülerinnen und Schüler einen Versuch zur Bestimmung der Fallbeschleunigung durchführen lassen. Im Durchschnitt haben diese über die Jahre hinweg den exakten Wert von 
9,81
 
m
s
2
 erhalten. Aus Erfahrung weiß sie jedoch auch, dass die von den Schülern gemessenen Werte durchaus eine gewisse Streuung aufweisen. Modellhaft kann von normalverteilten Messwerten mit einer Standardabweichung um 3% vom Erwartungswert ausgegangen werden.
Einer ihrer Schüler behauptet: "Dann kommen Werte unter 
9
 
m
s
2
 im Schnitt höchstens bei jedem zweihundertsten Versuch vor."
Begründe anhand einer Sigma-Regel, ob die Behauptung im Rahmen des Modells zutrifft.
  • Auswahl einer geeigneten Sigma-Regel
1
200
=
1
2
·
1%
=
1
2
·
100%
−
99%
Man kann also diejenige Sigma-Regel anwenden, die besagt, dass eine normalverteilte Zufallsgröße mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% einen Wert im Intervall 
[μ
−
2,58σ;
 
μ
+
2,58σ]
 annimmt. Aus der Symmetrie der Normalverteilung folgt, dass die Zufallsgröße mit einer Wahrscheinlichkeit von 
1
200
 einen Wert annimmt, der kleiner als 
μ
−
2,58σ
 ist.
  • Anwendung auf die gegebene Situation
Jeweils in der Einheit 
m
s
2
 folgt aus 
σ
=
3%
·
μ
=
0,03
·
9,81
=
0,2943
 für die Untergrenze des Intervalls:
μ
−
2,58σ
=
9,81
−
2,58
·
0,2943
 
≈
 
9,05
.
Die Behauptung des Schülers ist somit richtig, weil Werte, die niedriger als 
9
 
m
s
2
 sind, mit noch geringerer Wahrscheinlichkeit auftreten sollten.
Siehe auch

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