Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers zwischen zwei Graphen?
Wenn zwei Graphen von Funktionen \(f\) und \(g\) im Intervall \([a;b]\) eine Fläche einschließen, ergibt sich bei Rotation um die \(x\text{-Achse}\) ein Rotationskörper.
Dessen Volumen \(V\) lässt sich wie folgt berechnen:
\[ V=\pi \int_a^b |f(x)^2-g(x)^2|\,dx \]
Die Graphen von \(f(x)=-x^2\) und \(g(x)=x^2-8\) schließen eine Fläche ein. Berechne das Volumen \(V\), das sich durch Rotation um die \(x\text{-Achse}\) ergibt.
Zuerst bestimmt man die Schnittstellen der beiden Graphen um das Integrationsintervall festzulegen:
\[ \begin{aligned} f(x)&=g(x)\\[15pt] -x^2 &= x^2-8\\[15pt] -2x^2 &= -8\\[15pt] x^2 &= 4 \\[15pt] x_1&=-2 \qquad x_2=2\\[15pt] \end{aligned} \]
Damit lautet das Integrationsintervall:
\[ [-2;2] \]
Das Volumen des Rotationskörpers ist somit:
\[ \begin{aligned} V &=\pi \cdot \left| \int_a^b f(x)^2-g(x)^2\,dx \right| \\[10pt] &= \pi \cdot \left|\int_{-2}^{2} (-x^2)^2-(x^2-8)^2\,dx \right|\\[10pt] &= \pi \cdot \left|\int_{-2}^{2} x^4 - (x^4 - 16x^2 + 64)\,dx \right|\\[10pt] &= \pi \cdot \left|\int_{-2}^{2} 16x^2 - 64\,dx \right|\\[10pt] &= \pi \cdot \left| \left[ \frac{16}{3}x^3 - 64x \right]_{-2}^{2} \right| \\[10pt] &= \pi \cdot \left| \left( \frac{16}{3}\cdot 8 - 64\cdot 2 \right) - \left( \frac{16}{3}\cdot (-8) - 64\cdot (-2) \right) \right| \\[5pt] &= \pi \cdot \frac{512}{3} \\[5pt] &\approx \underline{536 \text{ [VE]}} \end{aligned} \]