Wie hängen Fasskreisbogen, Randwinkel und Mittelpunktswinkel zusammen?

Eine Sehne \(a\) teilt einen Kreis in zwei Kreisbögen. Man betrachte den größeren der beiden Bögen (bei gleich großen Bögen: einen der beiden Halbkreise):

• Von jedem Punkt des sogenannten Fasskreisbogens erscheint die Sehne \(a\) unter demselben Winkel \(\gamma\). Dieser Winkel heißt Randwinkel, Umfangswinkel oder Peripheriewinkel.
• Vom Kreismittelpunkt aus erscheint dieselbe Sehne unter dem Winkel \[ \mu = 2\gamma. \] Dieser Winkel \(\mu\) heißt Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel. Der Mittelpunktswinkel über derselben Sehne ist also doppelt so groß wie der zugehörige Randwinkel.
• Durch Spiegelung des Fasskreisbogens an der Sehne \(a\) erhält man den zweiten Fasskreisbogen (zweites Bild). Beide Bögen bilden zusammen das Fasskreisbogenpaar. Es ist der geometrische Ort aller Punkte, von denen aus die Strecke \(a\) unter demselben Winkel \(\gamma\) erscheint. Die beiden Endpunkte der Sehne gehören dabei nicht zum Fasskreisbogenpaar.
• Im Spezialfall, dass \(a\) ein Durchmesser ist, ergänzen sich die beiden Fasskreisbögen zu einem Kreis, dem Thaleskreis. Nach dem Satz des Thales beträgt der Randwinkel dann stets \[ \gamma = 90^\circ. \]